Page 75 - 《振动工程学报》2025年第11期

第 11 期 贺 雅，等：阈值优化的自适应双向压缩变换及其在碰摩故障特征提取中的应用 2533

√ ( π (ω−b) 2 ) 此 时， 信 号 的 时 宽 t d (t,ω)远 大 于 其 频 宽 ω d (t,ω)，
−1
ˆ s t f (ω) = A 2πc e i a+ − 2c （16）
4
将式 (15) 代入式 (4) 中，可以得到其 STFT 结果： ω d (t,ω)与 t d (t,ω)的比值趋近于 0，SST 适用于此类谐
√
( ct 2 ) σ(ω−b−ct) 2 波信号的处理。
−1 i a+bt+
g
V (t,ω) = A 2σπ(1−iσc) e 2 − 2(1−iσc) （17）
与之相反，对于纯脉冲信号，即调频率趋近于无
s t f
其 STFT 幅值为：
穷大，STFT 的时频能量在时间维度上的扩散宽度是
√
σ(ω−b−ct) 2
g
2 2 −1/2 −
˜ V (t,ω) = A 2σπ(1+σ c ) e 2(1+σ 2 c 2 ) （18） 窗函数时间宽度 ∆t，即
s t f
√
可以看出，式 (18) 会在其瞬时频率 b+ct 脊线处 1 ( 1 )
∆t = ln （27）
达到最大值。进一步地，将信号 STFT 用频域形式来 2σ v 0
表示： 此时，STFT 时频能量的频宽 ω d (t,ω)远大于其时
√ ( b 2 ) σω 2 (iσωc−ct−bc) 2
−1 i a+ +
ˆ g
V (t,ω) = A 2σπ(i+σc) e π 4 2c − 2 − 2(ic+σc 2 ) 宽 t d (t,ω)，故 ω d (t,ω)与 t d (t,ω)的比值趋于无穷大。脉
ˆ s t f
（19） 冲信号更适合采用 TSST 进行分析。
其幅值绝对值为： 随着调频率的增大，信号呈现从谐波类向脉冲
√
σ(t−(ω−b)/c) 2
ˆ g
2 2 −1/2 −
˜ V (t,ω) = A 2σπ(1+σ c ) e 2(σ 2 +c −2 ) （20） 类的过渡特征：频宽 ω d (t,ω)从窗函数的频率宽度 ∆ω
ˆ s t f
开始增大，时宽 t d (t,ω)则减小至窗函数的时间宽度
可见，频域 STFT 幅值在其群延迟 (ω−b)/c轨迹
∆t。这意味着，随着调频率的增大，信号从谐波逐渐
达到最大值，能量沿时间方向向两侧扩散。根据式
(17) 和 (19)，瞬时频率和群延迟及其一阶导数的表达 转变为脉冲， ω d (t,ω)与 t d (t,ω)的比值从 0 增大到无穷
式如下： 大，适用于提升信号时频分辨率也相应地从 SST 过渡
 到 TSST。综上分析，频宽 ω d (t,ω)与时宽 t d (t,ω)的相
′
′′
 φ (t) = b+ct,φ (t) = c



ω−b 1 （21） 对大小可作为指导时频压缩方法选择的重要依据。

′′
 −ϕ (ω) = ,−ϕ (ω) =
′


c c
本文旨在将窗函数频率宽度 ∆ω与时间宽度 ∆t的
式中，瞬时频率和群延迟的一阶导数互为倒数，这意
比值作为两类信号的划分界限。当满足下列方式
味着信号瞬时频率的变化率越小，表明信号越倾向
时，可推导出调频率阈值 c 0 ：
于弱时变特性，其群延迟的变化率则相应增大，这意
ω d (t,ω) ∆ω 1
味着信号同时也倾向于强频变特性，反之亦然。可 = ⇒ |c 0 | = （28）
t d (t,ω) ∆t σ
见，信号瞬时频率的一阶导数，即调频率，是反映信
通过比较阈值 c 0 与信号调频率估计值 ˆ c(t,ω)，可
号时变或频变特性的关键因素，通过判断其相对大
将 STFT 的时频空间划分为两部分，如下式所示：
小能够识别信号时变特性或频变特性。

g

 (t,ω),|ˆc(t,ω)| ⩽ σ −1
 V s f
 （29）
 0,其他
2.2 阈值优化的双向压缩变换 V F (t,ω) = 


g (t,ω),|ˆc(t,ω)| > σ −1

通过图 1(a) 和图 2(a) 可以发现，STFT 信号能量  V s f （30）

 0,其他
V T (t,ω) = 

在时间和频率方向上的能量分布会随调频率的变化
而变化。为了分析能量扩散与调频率之间的关系， 其中， ˆ c(t,ω)可通过下式计算 [25] ：
首先，基于式 (18) 和 (20) 推导了 STFT 能量扩散频宽  { ∂ t ˆω(t,ω) }

ˆ

 ℜ ,∂ t t(t,ω) , 0
 （31）
ˆ
和时宽的表达式。设置幅值限 v 0 ，通过下式可计算 ˆ c(t,ω) =  ∂ t t(t,ω)


ˆ
 inf,∂ t t(t,ω) = 0
出频宽 ω d (t,ω) [26] ：
σ(ω−φ ′ (t)) 2 因此，阈值优化的双向压缩变换 (Bi-SST) 可用下
−
e 2(1+σ 2 c 2 ) = v 0 （22）
√ 式进行表示：
( )
2 2
2(1+σ c ) 1 w
ω d (t,ω) = ln （23） G s (u,η) = +∞ V F (u,ω)δ(η− ˆω(u,ω))dω+
σ v 0
−∞
w
采样同样的方法，可计算出时宽 t d (t,ω)： +∞ −iηt
V T (t,η)e δ(u− ˆ t(t,η))dt （32）
2 −∞
σ(t+φ ′ (ω))
e − 2(σ 2 +c −2 ) = v 0 （24）
√
( ) 2.3 自适应双向压缩变换
(c +σ ) 1
−2
2
t d (t,ω) = 2 ln （25）
σ v 0
如 2.2 节所述，双向压缩变换 (Bi-SST) 主要包括
当信号为纯谐波信号，c=0 时，其频宽即为窗函
调频率估计、分量属性识别及对应方向的压缩变
数频率宽度 ∆ω，即
换，其基本原理如图 3 所示。
√
( )
2 1 在图 3 中 ， 当 窗 内 局 部 分 量 不 能 用 弱 时 变 信
∆ω = ln （26）
σ v 0
号或弱频变信号来近似描述时， ˆ ω(t,ω)与 ˆ t(t,ω)无法