Page 74 - 《振动工程学报》2025年第11期

2532 振 动 工 程 学 报 第 38 卷

释 SST 和 TSST 的性能局限。其中，信号 s 1 (t)为非线 果依次如图 2(c) 和 (d) 所示，对于弱频变区域（蓝框
性时变信号，表达式如下所示： 所示），TSST 能够有效聚集时频能量，而对于强频变
3
2
s 1 (t) = sin(2π(40t −10t + 2t )) （13） 区域（红框所示），TSST 结果的熵值变得很高，图 2(d)
其中，信号采样时间为 5 s，采样频率为 200 Hz，其瞬 中的 SST 结果呈现出相反的效果。这一对比表明，
时频率和调频率均随时间非线性变化。另一组为非 TSST 更适用于处理弱频变分量，而对于强频变分
线性频变信号 ˆ s 2 (ω)，表达式如下： 量，其难以实现能量的高效聚集；相较之下，SST 在
2
ˆ s 2 (ω) = e −i2π(3.1ω+(7/100)ω −(1/3000)ω ) 3 （14） 强频变分量上的表现反而优于 TSST。这意味着，强
其中，信号时长定义为 [0, 10] s，采样频率为 200 Hz， 频 变 分 量 本 质 上 具 有 谐 波 特 性 倾 向， 更 适 合 通 过
其群延迟及其变化率同样随频率呈现非线性变化 SST 方法实现聚集性表示。

趋势。
图 1(a) 呈现了信号 s 1 (t) 的 STFT 结果，其时频能 2 阈 值 优 化 的 自 适 应 双 向 压 缩 变 换
量主要沿瞬时频率脊线在频率方向上扩散，且调频
率越大，能量的分散范围也就越广。图 1(b) 为 s 1 (t) 由 1.3 节分析可知，信号的瞬时频率、群延迟及
的理想时频表示 (ITFR)。图 1(c) 和 (d) 分别为该信号 其变化率是影响信号分量属性及变换方法选择的关
的 SST 和 TSST 结果。本部分同时引入任意熵来评 键因素。本节在 SST 与 TSST 理论基础之上，通过构
估时频结果的能量聚集性，熵值越低，聚集性越高。 建一组线性调制信号，重点分析瞬时频率与群延迟

对比可知，SST 能有效提升弱时变区域（蓝框标注部 的内在联系，并介绍所提出的自适应双向压缩变换
分）的时频聚集性，但随着调频率的增大，其时频结 方法，包括阈值优化、自适应压缩变换及信号重构
果逐渐变得模糊；与之相反的是，调频率越大（红框 过程。

标注部分），TSST 结果具有更好的聚集性，却在弱时
2.1 瞬时频率和群延迟相关性分析
变区域呈现出模糊状态。这一现象表明，SST 能有
效提升弱时变分量的时频聚集性，而 TSST 在这方面 首先构建线性调制信号 s t f (t)，如下式所示：
2
效果有限；不过，随着调频率增大，SST 对强时变分 s t f (t) = Ae i(a+bt+ct / 2) （15）
量的适用性也随之下降。同时可见，强时变分量本 式 (15) 展示了信号的时域形式，其瞬时幅值和
/
质上具有脉冲特性倾向，可考虑用频域模型表征。 瞬时相位分别为 A 和 a+bt +ct 2，瞬时频率表达式
2
图 2(a) 和 (b) 展 示 了 信 号 ˆ s 2 (ω)的 STFT 和 ITFR 为 b+ct，调频率即为 c，群延迟表达式为 (ω−b)/c。接
结果，可见频变信号的时频特征集中分布在群延迟 下来采用时变参数来表征其频变特性。窗函数同样
2
脊线附近，STFT 结果中任意时频点的能量主要沿时 为高斯函数， g(t) = e −t / (2σ) ，下式为信号的傅里叶变
间轴方向扩散。分别采用 SST 和 TSST 展开分析，结 换结果：

100 100 100 100 8.5
频率 / Hz 60 频率 / Hz 60 频率 / Hz 60 7.5 13.3 频率 / Hz 60 10.7
80
80
80
80
40
40
40
40
20 20 20 20
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
时间 / s 时间 / s 时间 / s 时间 / s
(a) STFT结果 (b) 理想时频表示 (c) SST结果 (d) TSST结果
(a) The TFR of STFT (b) The ideal TFR (c) The TFR of SST (d) The TFR of TSST

图 1 s 1 (t) 信号的不同时频分析结果
Fig. 1 Various TFA results of signal s 1 (t)
7.9 11.8
频率 / Hz 80 频率 / Hz 80 频率 / Hz 80 12.6 频率 / Hz 80 9.4
60
60
60
60
40
40
40
40
20
2 4 6 8 10 20 2 4 6 8 10 20 2 4 6 8 10 20 2 4 6 8 10
时间 / s 时间 / s 时间 / s 时间 / s
(a) STFT结果 (b) 理想时频表示 (c) SST结果 (d) TSST结果
(a) The TFR of STFT (b) The ideal TFR (c) The TFR of SST (d) The TFR of TSST

图 2 ˆ s 2 (ω)信号的不同时频分析结果
Fig. 2 Various TFA results of signal ˆ s 2 (ω)