Page 73 - 《振动工程学报》2025年第11期

第 11 期 贺 雅，等：阈值优化的自适应双向压缩变换及其在碰摩故障特征提取中的应用 2531

应估计算子，构建了面向多分量时变频变信号的双 
 ˆω(t,ω) = ω

 w
+∞ （7）
g
g
向压缩变换方法，解决了现有双向后处理方法难以  (t,η) = V (t,ω)δ(η−ω)dω = V (t,ω)

 F s f
s f s f
−∞
兼顾高聚集性与表征准确性的问题。仿真与碰摩模
根据式 (7) 可知，脉冲类信号的 SST 结果与其 STFT
拟试验验证表明，该方法在保持信号高重构能力的
结果一致，也就是说，SST 难以提升脉冲类信号时频
同时，可实现对碰摩复合非平稳振动信号中强时变 [18]
表示的分辨率。为解决这一问题，HE 等 提出了基
谐波与强频变脉冲分量的高分辨率同步表征。
于频变模型的时间同步压缩变换 (TSST)，这将在下

一小节中进行讨论。

1 单 向 压 缩 变 换
1.2 时间同步压缩变换（TSST）
本节采用时变和频变信号模型阐述单向压缩变 基于频变模型，构建了一个脉冲类信号以分析
换的性能及局限性。 TSST 的性能。首先同样做出假设，若 ∃ε足够小，且

对于 ∀ω有 |A (ω)| ⩽ ε,|ϕ (ω)| ⩽ ε，根据二阶泰勒展开，
′′′
′
1.1 同步压缩变换（SST）
信号表达式为：
基于时变模型构建了一个谐波信号，其表达式为： i ϕ(ω)+ϕ (ω)(ξ−ω)+ ϕ ′′ (ω)(ξ−ω) 2 )
(
′
ˆ s(ξ) = A(ξ)e 2 （8）
( )
φ ′′ (t)
′
i φ(t)+φ (t)(u−t)+ (u−t) 2
s(u) = A(u)e 2 （3） 式中， A(ξ)和 ϕ(ω)表示频域中信号的瞬时幅值和瞬时
式中， A(u)和 φ(t)分别表示时域中信号的瞬时幅值和 相位； −ϕ (ω)表示群延迟， −ϕ (ω)表示群延迟变化率。
′
′′
√
2
瞬时相位； φ (t)和 φ (t)分别表示瞬时频率及其变化 高斯函数的频域表达式为 ˆ g(ω) = 2σπe −σω / 2 ，则
′
′′
率，即调频率。以上均为重要的瞬时特征，可用来理 信号 ˆ s(ξ)的 STFT 结果推导如下：
解多分量信号的时变特征。 1 w +∞
ˆ g
V (t,ω) = ˆ s(ξ)ˆg(ξ −ω)e i(ξ−ω)t dξ =
假设 ∃ε足够小，且对于 ∀t有 |A (t)| ⩽ ε,|φ (t)| ⩽ ε， ˆ s i 2π −∞
′
′′′
√
σ (t+(ϕ ′ (ω)) 2 )
则信号 (3) 可近似视为线性时变信号。瞬时频率为 A(ω)e iϕ(ω) e − 2(σ−iϕ ′′ (ω)) （9）
σ−iϕ (ω)
′′
2
给定窗函数为高斯函数， g(t) = e −t / (2σ) ，其中 σ为控制
TSST 通过沿时间方向一维积分，将分散的时频
窗宽的参数。
能量向信号群延迟轨迹压缩，如下所示：
信号 (3) 的短时傅里叶变换 (STFT) 可推导如下： w
+∞ ˆ g
w T s i (u,ω) = V (t,ω)δ(u− ˆ t(t,ω))dt （10）
+∞ ˆ s i
g
V (t,ω) = s(u)g(u−t)e −iω(u−t) du = −∞
s f
−∞ 其中，信号 ˆ s(ξ)的二维群延迟估计表达式如下：
√
2σπ σ(ω−(φ ′ (t)) 2 )  ˆ g 
A(t)e iφ(t) e − 2(1−iσφ ′′ (t)) （4）  ˆ s i 
i∂ ω (V (t,ω))


1−iσφ (t) ˆ t(t,ω) = ℜ   =
′′
 ˆ g 
 V (t,ω) 
ˆ s i
同步压缩变换 (SST) 公式如下： (ϕ (ω)) 2
′′
′
′
w −ϕ (ω)+ (t +ϕ (ω)) （11）
+∞ 2 2
g
′′
(t,η) = V (t,ω)δ(η− ˆω(t,ω))dω （5） σ +(ϕ (ω))
F s f
s f
−∞
′′
式中，δ 表示狄拉克函数。对于任意一时频点 (t,ω)， 当 |ϕ (ω)| → 0，信号 (8) 被视为弱频变信号， ˆ t(t,ω) =
′
信号 (3) 的二维瞬时频率估计可根据下式计算得到： −ϕ (ω)，即 ˆ t(t,ω)能够近似于信号真实群延迟，而当
′′
{ g } |ϕ (ω)|较大时，信号 (8) 为强频变信号， ˆ t(t,ω)与其真
∂ t (V s f (t,ω))
ˆ ω(t,ω) = ℜ g = 实群延迟 −ϕ (ω)之间存在一个明显的误差项，TSST
′
i(V s f (t,ω))
2
σ (φ (t)) 2 结果不可避免地出现能量模糊现象。
′′
φ (t)+ (ω−φ (t)) （6）
′
′
2
1+σ (φ (t)) 2 当 |ϕ (ω)|趋近于无穷大，此时信号 (8) 将转变为
′′
′′
；
式中， ∂ x 为微分算子 ∂/∂x ℜ{·}为复数的实部。 谐波类信号，二维群延迟估计和 TSST 结果如下：
可以看出，当 |φ (t)| → 0，信号 (3) 为弱时变信号， 
 ˆ t(t,ω) = t
′′

 w
+∞
ˆ g
ˆ g
ˆ ω(t,ω) = φ (t)，即瞬时频率估计值可较好地近似于信  (u,ω) = V (t,ω)δ(u− ˆ t(t,ω))dω = V (t,ω)
′

 T s i
ˆ s i ˆ s i
−∞
号的真实频率。但若 |φ (t)|不可忽略，信号 (3) 则视 （12）
′′
为强时变信号， ˆ ω(t,ω)将无法为其真实瞬时频率提供 可见，谐波类信号的 TSST 结果与其 STFT 结果
无偏估计量，SST 难以生成集中时频表示。 一致，表明 TSST 难以突破频变模型的固有局限，并
进一步地，当 |φ (t)|趋近于无穷大， s(u)将不再能 不适用于谐波类信号的处理。
′′

被看作谐波类信号，而是脉冲类信号。对其按式 (6)
1.3 SST 和 TSST 性能仿真分析
进行瞬时频率估计，可得到 ˆ ω(t,ω) = ω，其 SST 结果
如下： 本小节进一步构建了两组仿真信号用于直观解