Page 131 - 《振动工程学报》2025年第11期

第 11 期 刘清华，等：非线性振动控制恢复力辨识方法研究进展 2589

恢复力曲面与垂直的零速度和零位移平面相交来可 响应分解为慢变分量，从而可以提取叠加瞬时固有
视化，需要注意的是，零速度/位移平面并非绝对的 频率和叠加瞬时幅值，解决了强非线性振子非线性
零速度/位移平面，可选取合理的阈值范围来截取曲 恢 复 力 辨 识 的 难 题 。 其 详 细 的 辨 识 流 程 如图 4 所
面以保证识别精度。由于恢复力曲面法适用于任意 示，根据恢复力形式不同，可以采用多步方法，关键
非线性恢复力形式，且操作简单，因此得到广泛的关 在于提取包络和计算叠加瞬时固有频率，从解析信
注和应用，其详细辨识流程如图 3 所示。 号的角度计算非线性刚度和阻尼。

激励选取 响应数据集铺满相空间
数据预处理：
获取非线性振子的自由振动或扫频响应并滤噪
利用数值积分或者微分方法获取
信号处理 希尔伯特变换：
位移、速度和加速度
将位移、速度和加速度写成解析信号的形式代入
以位移为X轴，速度为Y轴，激励 动力学方程推导非线性刚度和阻尼解析表达式
恢复力曲面构建
力减去惯性力为Z轴绘制三维曲面
假设位移和速度分别为零，截取出 软、硬或者分段线性 双稳态非线性恢复力
非线性刚度/阻尼力截取 非线性阻尼和刚度力轨迹

分势能阱获取两段响应，分别
根据截取的非线性力轨迹选择合
函数拟合参数识别 适的函数进行拟合识别参数 利用希尔伯特振动分解

图 3 恢复力曲面法辨识流程 直接进行瞬时
包络提取和瞬 分别计算希尔伯特振动分解后
Fig. 3 Identification process of restoring force surface method 时固有频率计算 的包络和固有频率

MASRI 等 [31] 首先提出了非线性动力系统的非参
计算叠加包络和叠加瞬时固有
辨识方法，该方法适用于强弱非线性及单自由度至
频率
多自由度系统，并在杜芬振子和双线性滞回系统中
得到了验证。ALLEN 等 [44] 将基于速度测量的恢复 轨迹表征：
力曲面法应用于微机电系统悬臂梁结构，分析了分 计算非线性恢复力轨迹，进行拟合，得到非线性恢
复力方程形式
[45-46]
段非线性恢复力现象。NOËL 等 探索了空间螺

栓连接板、卫星惯性轮碰撞结构的接触、碰撞非线 图 4 希尔伯特变换法辨识流程
性刚度特性。CARBONI 等 [47] 和 PEI 等 [48] 利用恢复 Fig. 4 Identification process of Hilbert transform method

力曲面法获取钢丝绳隔振器非线性迟滞恢复力轨
FELDMAN [52-53] 提 出 了 非 线 性 恢 复 力 和 黏 性 阻
迹。LIU 等 [49] 系统分析了加速度测量、位移测量恢
尼辨识的自由振动和强迫振动希尔伯特变换算法；
复力曲面法在准零刚度、双稳态和多稳态悬臂梁结
又在强非线性振动衰减响应基础上提出了希尔伯特
构中应用的局限性。恢复力曲面法的局限性在于，
振 动 分 解 方 法， 为 强 非 线 性 结 构 恢 复 力 辨 识 提 供
对位移、速度和加速度质量要求高，否则截取的非
线性恢复力轨迹很难提取特征，且不适用于某自由 了一种振动信号分解求叠加包络的方法 [50] ；并将希
度存在两个及以上的坐标耦合情况，阻碍了其在多 尔伯特变换应用于一种分段线性刚度微机电驱动
自由度系统中的应用。 器结构 [54] 。WU 等 [55] 拓展了希尔伯特变换方法，应

用 于 可 折 叠 机 翼 铰 链 处 分 段 非 线 性 刚 度 的 识 别 。
2.2 希尔伯特变换 [56]
FELDMAN 等 将希尔伯特变换应用于精密加工平
希尔伯特变换应用于参数辨识最早由 FELDMAN [50] 台结合面非线性迟滞恢复力的非参数表征。YUAN
提出，并在线性、分段线性和硬化特性振子上做了 等 [57] 将希尔伯特变换方法拓展到机电耦合系统，分
数值验证。希尔伯特变换方法将非线性恢复力和阻 析了压电层合板俘能器的软化-硬化非线性刚度特
尼表达为瞬时固有频率和瞬时幅值（包络）的函数， 性。LIU 等 [58] 提出最优希尔伯特变换方法辨识准
其中瞬时固有频率和瞬时幅值是通过振动微分方程 零、双稳态非线性振子恢复力，提高了其抗噪声能
的希尔伯特变换形式得到的。当遭遇强非线性时， 力。希尔伯特变换方法提取非线性恢复力的过程可
非线性振子的响应包含多阶谐波分量，即包含快变 以附带计算非线性频响和骨架曲线，然而，该方法仅
分量使得瞬时幅值和瞬时固有频率提取困难，因此， 适用于单自由度和弱耦合二自由度系统，且与恢复

FELDMAN [51] 又提出了希尔伯特振动分解，将非线性 力曲面法类似，其抗噪能力仍显不足。