Page 130 - 《振动工程学报》2025年第11期

2588 振 动 工 程 学 报 第 38 卷

非线性振动控制工程应用 实现形式 非线性恢复力
光刻机 引力波探测 迟滞
1.磁铁 阻尼
2.连杆、凸 非线性恢复力 准零
轮、齿轮与 刚度
斜弹簧
空天卫星 潜艇推进系统
3.屈曲梁
O
位移
4.3D打印
超结构
双稳态
5.MEMS加工、
记忆合金等

图 1 非线性振动控制典型工程应用 [32-35] 、实现方式及其非线性恢复力本质
Fig. 1 Typical engineering applications [32-35] , implementation methods and the essence of nonlinear restoring force in nonlinear
vibration control

基 于 带 外 生 输 入 的 非 线 性 自 回 归 滑 动 平 均 模 型， 动与算法创新。该方法通过构建过完备的非线性基
BOX 等 [36] 、KORENBERG 等 [37] 发展了正交估计算法 函数库，并采用序贯阈值最小二乘等稀疏优化算法，
和谐波探测算法，极大地提升了对复杂非线性参数 从数据中自动发现支配动力学方程的稀疏结构，实
模型的参数估计能力。以 STASZEWSKI [38] 的时频分 现了模型复杂性、可解释性与精度之间的平衡。随
析方法以及 FELDMAN 等 [39] 的希尔伯特变换方法为 着人工智能浪潮的到来，物理信息神经网络等新型
代表，研究者们转向利用瞬态响应的幅值与频率信 方法由 RAISSI 等 [43] 推动。该方法将物理定律（常以
息来识别时变的非线性动力学特性。21 世纪，状态 微分方程残差形式）嵌入神经网络的损失函数中，兼
空间和概率方法成为主流。非线性子空间方法通过 具数据驱动与物理模型的双重优势，为求解高维、
将非线性力反馈与状态空间矩阵投影相结合进行辨 部分已知的复杂非线性系统提供了全新范式。非线
识非线性动力学特性 [40] ，而无迹卡尔曼滤波方法则 性系统辨识技术始终致力于追求更强大的能力：处
通过概率分布传递来处理非线性，显著提高了对强 理更高维的系统、拥有更高的抗噪性、实现更高的
非线性系统的状态估计精度 [41] 。以 BRUNTON 等 [42] 计算效率、逼近任意的非线性特性，并最终获得具
提出的稀疏辨识方法为标志，研究焦点转向数据驱 有清晰物理意义的可解释模型。这一演进过程不仅

体现了方法论上的进步，也反映了不同时期工程问
构建位移、速度和力
恢复力曲面方法 [30-31] 的三维平面截取非线 题需求与计算工具发展的相互促进与深度融合。
性刚度和阻尼。 [21]
结合 NOËL 等 回顾的结构动力学参数辨识算
在带外生输入的非线 法以及 2006~2016 年结构动力学参数辨识十年研究
正交估计算法 性自回归滑动平均模
和谐波探测算法 [36-37] 型基础上估计参数 进展，本文结合了最近十年发展的物理先验神经网
络和稀疏辨识方法，简要介绍恢复力曲面、希尔伯
利用自由衰减或者扫频
希尔伯特变换法 的瞬态幅值和固有频率 特变换、时频分析、非线性子空间、无迹卡尔曼滤
和各种时频分析方法 [38-39] 计算非线性刚度和阻尼 波、优化算法、物理先验神经网络和稀疏辨识方法

非线性力反馈+状态空 在非线性恢复力辨识中的代表性研究进展，并给出
非线性子空间方法 间矩阵投影；在概率分 辨识流程图。在对 8 种辨识方法进行回顾和辨识流
和无迹卡尔曼滤波方法 [40-41] 布上传递非线性变换
程介绍之后，给出了不同辨识方法对准零刚度、双
构建非线性基函数库， 稳态刚度及迟滞类型恢复力的适用性、抗噪声能
稀疏辨识方法 [42] 采用序贯阀值最小二乘 力、辨识效率和适用高维系统能力对比。
等算法实现稀疏回归

将微分方程残差作为损 2.1 恢复力曲面法
物理先验神经网络 [43] 失函数的一部分，利用
神经网络拟合观测数据 恢复力曲面法最早由 MASRI 等 [31] 提出，也称为
高维系统，高抗噪，高效率，任意非线性，可解释性 力-状态映射方法。该方法是一种将非线性激励力

图 2 非线性恢复力辨识发展历程 减 去 惯 性 力 作 为Ｚ 坐 标 ， 将 位 移 和 速 度 分 别 作 为
Ｘ和Ｙ坐标，从而将牛顿第二运动定律方程视为三
Fig. 2 Research progress on nonlinear restoring force
identification 维恢复力曲面的方法。非线性恢复力轨迹可以通过