Page 92 - 《振动工程学报》2025年第9期

2022 振 动 工 程 学 报 第 38 卷

[ ]
∆t
A v = E+ (λ 1 +2λ 2 +2λ 3 +λ 4 ) ;
6
∆t ( )
¯
¯
¯
¯
B v1 = I 1 +2I 2 +2I 3 + I 4 ;
6
∆t ( )
ˆ
ˆ
ˆ
B v2 = 2I 2 +2I 3 + I 4 ;
6
[ ]
C v = c b 0 k b 0 ;
（B1）
D v = −m w
式中，
∆t ×λ 2 ∆t ×λ 1 λ 2 ∆t ×λ 1 λ 3
λ 1 = λ v ;λ 2 = λ 1 − 1 ;λ 3 = λ 1 − ;λ 4 = λ 1 − ;
2 2 2
¯ ¯ ¯ ¯
¯
¯
¯
¯
¯
I 1 = I v ; I 2 = ∆t ×λ 1 I 1 + I 1 ; I 3 = ∆t ×λ 1 I 2 + I 1 ; I 4 = ∆t ×λ 1 I 3 ;
2 2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
I 2 = I v ; I 3 = ∆t ×λ 1 I 2 + I v ; I 4 = ∆t ×λ 1 I 3 + I v （B2）
2 2
式中，E 为单位矩阵，其他参数说明见 2.2 节。
附录 C：
考虑纯时滞误差的振动台离散状态空间方程推导：
[ ] [ ]
[ ]
0 n d ×1 E n d 0 n d ×1
A t = ; B t = ;C t = 1 0 1×n d （C1）
0 0 1×n d 1
式中，0 为元素均为 0 的矩阵，下标依次表示其行数和列数。
附录 D：
由各子系统离散状态空间方程的联立方程组 (式 (25)) 可推导得到：
    
0 n b ×1 0 n b ×n t 0 n b ×1 0 n b ×n v 0 n b ×1  z b,i+1 
0 n b
 z b,i+1  
    
    
    
 
 ¨x b,i+1   C b,i+1  
 0 1×1 0 1×n t 0 1×1 0 1×n v 0 1×1  ¨x b,i+1 
    
    
    
    
 z t,i+1   0 n t ×n b B t 0 n t ×n t 0 n t ×1 0 n t ×n v 0 n t ×1  z t,i+1 
     +

  =  
    
    
   
  ¨x g,i+1   0 1×n b 0 1×1 C t 0 1×1 0 1×n v 0 1×1  ¨x g,i+1 
    
    
     

 
  z v,i+1   0 n v ×n b 0 n v ×1 0 n v ×n t B v2 0 n v ×n v 0 n v ×1  z v,i+1 
    
    
F f,i+1 0 1×n b 0 1×1 0 1×n t D v C v 0 1×1 F f,i+1
  
A b 0 n b ×1 0 n b ×1
 0 n b ×n t 0 n b ×n v B b,i+1  z b,i 
  
    
  


  0 1×n b 0 1×1 0 1×n t 0 1×1 0 1×n v 0 1×1  ¨x b,i   B b,i+1 0 n b ×1 
     [
     ]
    
 
 0 n t ×1 A t 0 n t ×1 0 n t ×1  z t,i   0 0   F g,i+1

  0 n t ×n b 0 n t ×n v     （D1）
   +  
    
    
0 1×1 0 1×1    0 n t ×1 B t  ¨ x s,i+1
  0 1×n b 0 1×n t 0 1×n v 0 1×1  ¨x g,i   
    
    
   

  0 n v ×n b 0 n v ×1 0 n v ×n t B v1 A v 0 n v ×1  z v,i  0 (2+n v )×1 0 (2+n v )×1
  
  
0 1×1 0 1×1 F f,i
0 1×n b 0 1×n b 0 1×n t 0 1×n v
由式 (35) 可以得到整体试验系统的状态转移矩阵和荷载输入向量的表达式为：
  −1  
0 n b ×1 0 n b ×1 A b 0 n b ×1 0 n b ×1
  0 n b 0 n b ×n t 0 n b ×n v 0 n b ×1   0 n b ×n t 0 n b ×n v B b,i+1 
    
    
    
  C b,i+1 0 1×1 0 1×1   0 1×1 0 1×1 0 1×1  
  0 1×n t 0 1×n v 0 1×1   0 1×n b 0 1×n t 0 1×n v
    
    
    
    
   0 n t ×n b B t 0 n t ×n t 0 n t ×1 0 n t ×n v 0 n t ×1   0 n t ×n b 0 n t ×1 A t 0 n t ×1 0 n t ×n v 0 n t ×1   ,


 
A i =  E n b +n t +n v +3 −     
 
    
 0 1×1 C t 0 1×1   0 1×1 0 1×1 0 1×1  
   0 1×n b 0 1×n v 0 1×1   0 1×n b 0 1×n t 0 1×n v
    
    
    
   
   0 n v ×n b 0 n v ×1 0 n v ×n t B v2 0 n v ×n v 0 n v ×1   0 n v ×n b 0 n v ×1 0 n v ×n t B v1 A v 0 n v ×1 
    
    
0 1×n b 0 1×1 0 1×n t D v C v 0 1×1 0 1×n b 0 1×n b 0 1×n t 0 1×1 0 1×n v 0 1×1
  −1
0 n b ×1 0 n b ×n t 0 n b ×1 0 n b ×n v B b,i+1 
0 n b
 
  
    
  
  C b,i+1 
  0 1×1 0 1×n t 0 1×1 0 1×n v 0 1×1   B b,i+1 0 n b ×1 
    
    
    
    0 0 
  0 n t ×n b B t 0 n t ×n t 0 n t ×1 0 n t ×n v 0 n t ×1   
     （D2）
B i =  E n b +n t +n v +3 −      
 
    
 
  0 1×n b 0 1×1 C t 0 1×1 0 1×n v 0 1×1   0 n t ×1 B t 
  
    
    
  
 
   0 n v ×n b 0 n v ×1 0 n v ×n t B v2 0 n v ×n v 0 n v ×1  0 (2+n v )×1 0 (2+n v )×1
  
  
0 1×n b 0 1×1 0 1×n t D v C v 0 1×1