Page 85 - 《振动工程学报》2025年第9期

第 9 期 刘 豪，等：简支梁桥走行车桥系统的实时混合试验稳定性预测方法 2015

出，由式 (7) 和 (14) 可得数值子结构的输出为： 考虑式 (16) 中车辆部分状态空间方程的输入是
（15）
¨ x I,i+1 = C b,i+1 z b,i+1 加速度，因此需要将式 (21) 改写为：
其中，C b, 的表达式见附录 A。
i
¨ x g,i = ¨x Input,i−n d （22）
式 (14) 的状态方程和式 (15) 的输出方程共同组
将式 (22) 整理为状态方程和输出方程：
成了数值子结构的状态空间方程。

z t,i = A t z t,i−1 + B t x Input,i ,
2.2 车辆部分的离散状态空间方程 z t,i = [ ¨x g,i−n d ¨ x g,i+1−n d ··· ¨ x g,i ] T （23）
本节采用 4 阶龙格-库塔法求解车辆部分响应。 ¨ x g,i = C t z t,i （24）
首先将式 (5) 所示的车辆动力平衡方程转换为连续 式中，A t 、B t 和 C t 的表达式见附录 C。

状态空间方程:
[ ] [ ]{ } [ ] 2.4 走行车桥 RTHT 系统的离散状态空间方程
−1 −1
¨ x v −M C v −M K v ˙ x v I v
v
v
= + ¨ x g (t)
˙ x v E 2 0 2×2 x v 0 2×1 参考上述子系统的状态空间方程以及 1.4 节中
（16）
各子系统之间的输入输出关系，可以得到模拟车辆
将车辆的速度向量和位移向量作为物理子结构
在单跨简支梁桥上运行的实时混合试验系统的离散
的状态量 z v ，然后将式 (16) 整理为：
状态空间方程：
˙ z v = λ v z v + I v ¨x g ,
 ( )
[ ] 
[ ] −1 −1 [ ]  z b,i+1 = A b z b,i + B b,i+1 F f,i + F g,i+1

˙ x v −M C v −M K v I v 
v
v
z v = ,λ v = , I v = 


x v 0 2×1 
 ¨x I,i+1 = C b,i+1 z b,i+1
E 2 0 2×2 

（17）  ( )



 z t,i+1 = A t z t,i + B t ¨x I,i+1 + ¨x s,i+1
 （25）
式中，E 为单位矩阵，其下标表示方阵的维度；0 为元 


 ¨x g,i+1 = C t z t,i+1



素都为 0 的矩阵，其下标依次表示行数和列数。 


 z v,i+1 = A v z i + B v1 ¨x t,i + B v2 ¨x g,i+1



然后可基于 4 阶龙格-库塔法求解式 (17)，求解 


F f,i+1 = C v z v,i+1 + D v x g,i+1
过程为：
Z i+1 = A i+1 Z i + B i+1 Y i ,
1
z i+1 = z i + (k 1 +2k 2 +2k 3 + k 4 ), [ z T z T z T ] T
6 Z i = b,i ¨ x I,i t,i ¨ x g,i v,i F f,i ,
( ) [ ] T
k 1 = ∆t × λ v z i + I v ¨x g,i , Y i = F g ¨ x s,i+1 （26）
[ ( ) ]
k 1 ¨ x g,i + ¨x g,i+1
k 2 = ∆t × λ v z i + + I v , 式中，A i 和 B i 分别为第 i 时刻走行车桥 RTHT 状态转
2 2
移矩阵和荷载输入矩阵，其具体推导过程和表达式
[ ( ) ]
k 2 ¨ x g,i + ¨x g,i+1
k 3 = ∆t × λ v z i + + I v , 见附录 D；Z i 为当前时刻的系统状态向量；Y i 为外部
2 2
[ ] 输入向量。
（18）
k 4 = ∆t × λ v (z i + k 3 )+ I v ¨x g,i+1
为了验证式 (26) 的正确性，采用该式和子结构
整理上述求解过程可以得到车辆的状态方程：
迭代方法 [25] 分别求解四分之一车模型-简支梁耦合
（19）
z v,i+1 = A v z v,i + B v1 ¨x g,i + B v2 ¨x g,i+1
系 统 。 振 动 台 的 时 滞取 0， 因 此 其 状 态 转 移 矩 阵
式中，A v 、B v 和 1 B v 的表达式见附录 B。
2
A t 的所有元素取 0，荷载输入矩阵 B t 取 1，状态输出
车辆的输出为当前时刻对桥梁的反力 F f,i ，参考
向量 C t 取 1。子结构迭代方法采用分离的车辆与桥
式 (7) 可得到车辆的状态输出方程：
梁运动方程，通过求解各自的运动方程，用迭代过程
（20）
F f,i = C v z v,i + D v ¨x g,i
来满足轮轨间的几何相容条件和相互作用力平衡条
式中，C v 和 D v 的表达式见附录 B。
件 [28] 。在本文的仿真中采用 Newmark-β 法求解桥梁
式 (19) 的状态方程和式 (20) 的输出方程共同组
模型，采用四阶龙格-库塔法求解车辆模型。
成了物理子结构的状态空间方程。
车辆模型选取了基于原型车 CRH 380A 的参数 ，
[9]

2.3 振动台的离散状态空间方程 如表 1 所 示 。 取 桥 梁 参 数 m=22691 kg/m， EI=5.2×
10
10 N/m ，L=32.6 m。系统荷载取车辆速度 300 km/h
2
在 1.3 节中已经提到，考虑到对振动台进行逆动
时的重力荷载，两种方法计算的车辆位移时程和加
力补偿后可以较好地控制其动态误差，因此可以将
速度时程如图 4 所示，其中基于式 (26) 的求解结果
加载系统的误差视为纯时滞 τ。假设该误差是实时
称为“状态空间方程求解”，另一种方法的求解结果
混合试验积分步长 Δt 的 n d 倍，可以将振动台的输入
称为“子结构迭代求解”。从图 4 中可以看出，两种
与输出关系描述为：
方法求解的质量块竖向位移和加速度完全吻合，证
（21）
x g,i = x Input,i−n d 明了式 (26) 的正确性。