Page 83 - 《振动工程学报》2025年第9期

第 9 期 刘 豪，等：简支梁桥走行车桥系统的实时混合试验稳定性预测方法 2013

v 沿 桥 梁 方 向 水 平 匀 速 移 动 ， L 为 桥 梁 计 算 长 度 ， 以及基于多体动力学软件建立的车辆复杂动力模
δ 为 Dirac 函数。桥梁的振动微分方程为 [21] ： 型 [24] 。对于上述车辆模型均可使用动力平衡方程来
4
2
∂ u(x,t) ∂u(x,t) ∂ u(x,t) 描述车辆的运动状态。以图 3 的四分之一车模型为
m +c + EI = δ(x−vt)P(t) （1）
∂t 2 ∂t ∂x 4 例，其中 m c 为车体质量，m b 为转向架质量，m w 为轮
式中，m 为桥梁的单位长度质量；EI 为桥梁的抗弯刚
对 质 量， k c 为 二 系 悬 挂 刚 度 ， k b 为 一 系 悬 挂 刚 度 ，
度；c 为桥梁的阻尼系数。结合 Dirac 函数的特性和
c c 为 二 系 悬 挂 阻 尼 ， c b 为 一 系 悬 挂 阻 尼 ； x c 、 x b 和
振型分解法，可以由式 (1) 得到桥梁的模态坐标动力
x w 分别表示车辆相对坐标系中的车体、转向架和轮
平衡方程为：
对相对各初始平衡位置的竖向位移，动力平衡方程为：
M q ¨ q(t)+C q ˙ q(t)+ K q q(t) = ϕ(vt)P(t) （2）
M v ¨ x v (t)+C v ˙ x v (t)+ K v x v (t) = −M v I v ¨x g (t) （5）
其中，各矩阵的表达式为：
式中， ¨ x g 为车辆受到的轨道加速度激励；M v 、C v 和
 ( πx ) 
 sin  K v 为 四 分 之 一 车 模 型 的 质 量 、 阻 尼 和 刚 度 矩 阵 ；




 
 
 ( L ) 
 
 2πx 
  x v 为车辆的位移向量；I v 为荷载位置矩阵，表达式
 
 sin 


 
 L 
ϕ(x) =   , 如下：
 . 
 
 . 
  [ ] [ ]
 . 
 
  0
 ( )  m b c b +c c −c c
 nπx  M v = ,C v = ,
 
 
 sin  0 m c −c c c c


L [ ] [ ] [ ]
 r L  1
2
 m ϕ (x)dx 0 ··· 0  K v = k b +k c −k c , x v = x b , I v = （6）
 0 1 
 r  1
 L  −k c k c x c
 2 
 0 m ϕ (x)dx 0 
 
 0 2 

  ,
M q =   . .  本文假定轮对和轨道均为刚体，两者始终保持
 . . 
 . 
 . 
 
  [25]
 r  密贴接触 ，忽略非线性轮轨相互作用，并且仅考虑
 L 2 
0 0 m ϕ (x)dx
0 n
  轮轨的竖向相互作用力。因此轮对的位移 x w 与底部
 2ξ 1 ω 1 0 ··· 0 
 
 
  位移 x g 相同，然后可以计算得到车辆对轨道的反力：
 0 0 
 2ξ 2 ω 2 
 
 

 ,
 .
C q = M q  . 
 . .  F f (t) = −m w ¨x g (t)+c b v b (t)+k b x b (t) （7）
 . . 
 
 
 
 
0 0 2ξ n ω n 式中，v b 为 x b 对时间的导数，即转向架相对于车轮的
 2 
 ω 0 ··· 0  速度。
 1 
  2  
 0 ω 0  

  2  
K q = M q  . .   （3）

 . .  

 . .  

  m c
 
 2 
0 0 ω n x c
式 中， ϕ 为 简 支 梁 的 振 型 矩 阵 ， 其 中 第 i 阶 振 型 为 c c k c
sin(iπx/L)；q 表示简支梁的模态响应向量，其上方的
m b
点表示对时间的导数；M q 、C q 、K q 分别为简支梁的模 x b
态质量矩阵、模态阻尼矩阵和模态刚度矩阵；n 表示 c b k b
m w
取桥梁前 n 阶模态进行计算；ξ i 表示第 i 阶模态的阻
x w
尼比；ω i 表示第 i 阶模态的圆频率。
图 3 四分之一车模型
由式 (2) 和振型叠加法可求解得到桥梁各位置
Fig. 3 Quarter-train model
处的动力响应 u(x,t)。而在实时混合试验中，桥梁数
值子结构只需输出与车辆交界面处的竖向响应 x I ：
1.3 振动台
n ∑
[ ]
x I (t) = u(vt,t) = q i ×ϕ i (vt) ，
信号处理、伺服阀、液压动力元件等环节会导
i=1
¨ x I (t) = ¨u(vt,t) = 致振动台的实际加载结果 x g 与加载指令 x Inpu 之间存
t
在一定的滞后。现有研究中常将该误差视为纯时滞
]
n ∑[
¨ q i ×ϕ i (vt)+2˙q i × ˙ ϕ i (vt)+q i × ¨ ϕ i+1 (vt) （4）
误差 [14-16] 。唐贞云等 [18] 认为加载系统不仅存在滞后
i=1
式中，q i 表示简支梁的第 i 阶模态响应；ϕ i 表示简支 误差，还存在着随输入频率变化的幅值误差，因此采
梁的第 i 阶模态振型。 用传递函数描述振动台的幅值和相位误差。但是就

振动台内部特性而言，数据通讯、数值/模拟信号转
1.2 车辆物理子结构
换等环节会导致时滞误差，而伺服阀、台面质量等
现有研究中有多种车辆模型，如移动质量块、四 会导致振动台的动态误差，因此采用时滞和传递函
分 之 一 车 模 型、 二 分 之 一 车 模 型 [22] 、 整 车 模 型 [23] 数的复合形式是一种合理的振动台建模方式 [26] ：