Page 84 - 《振动工程学报》2025年第9期

2014 振 动 工 程 学 报 第 38 卷

n n ∑ 法无法适用于该时变系统。因此需要针对该系统提
q j s j
x g (s) j=0 出适用的稳定性分析方法。

G st (s) = = ×e −τs （8）
x Input (s) n d ∑
p i s i
2 走 行 车 桥 实 时 混 合 试 验 系 统 的 离 散
i=0
式中，G s 表示振动台频域模型；q j 和 p i 分别为传递函
t
状 态 空 间 方 程
数分子和分母的系数；n n 和 n d 分别表示分子和分母
的阶数；s 为复频率，其虚部为圆频率 ω；τ 表示振动
考虑到数值子结构采用离散积分算法进行求
台时滞；e 为自然对数。
解，本文将实时混合试验视为离散系统。对于线性
现有研究中提出了多种时滞补偿算法，以减小
时不变离散系统，可以根据状态转移矩阵的谱半径
加载系统的时滞误差 [11-12] ，但是 TANG 等 [27] 的研究
是否大于 1 判断系统稳定性 [28] 。对于本文中具有时
表明，时滞补偿算法对 RTHT 的稳定性和精度提升
变特性的走行车桥实时混合试验系统，虽然无法直
效果有限，甚至可能会降低系统稳定性；此外现有研
接使用该判据，但是可以参考该系统谱半径与系统
究提出了多种逆动力补偿策略 [13] ，可以有效地减少
稳定性的关系，进而推衍出适用于该时变系统的稳
振动台的动态误差，此时可以认为振动台仅具有纯
定性判据。为此，本节先将各部分子系统离散化，然
时滞误差 [17] ：
后建立整体系统的离散状态空间方程。
x g (s)
G st (s) = = e −τs （9）
x Input (s) 2.1 桥梁部分的离散状态空间方程
根据上述研究现状，本文采用式 (9) 作为振动台
的模型。 对于式 (2) 中所示的桥梁动力平衡方程，有多种

数值积分算法可以求解。本文采用 Newmark-β 法求
1.4 实时混合试验系统 解。Newmark-β 法通过两个控制参数实现运动方程

列车的轨道不平顺可以被转换为时域上的样本 求解，其中速度、加速度与位移之间的关系假设为：
( )
序列 x s 。因此，车辆轨道不平顺激励 x s 和重力荷载 F g ¨ u i+1 = 1 (u i+1 −u i )− 1 ˙ u i − 1 −1 u i
β∆t 2 β∆t 2β
作为车-桥耦合系统的输入，实时混合试验系统中桥 ( ) ( )
γ γ 1
梁的位移响应 x I 和不平顺位移 x s 共同作为振动台的 ˙ u i+1 = (u i+1 −u i )+ 1− ˙ u i + 1+ ¨ u i+1 ∆t （11）
β∆t β 2β
输入 x Input ，振动台实际输出位移 x g 为车辆的底部位
式中，Δt 为离散的时间步长；β 和 γ 为 Newmark-β 法
移输入，然后车辆反力 F f 的重力 F g 共同作为桥梁的
中的计算系数，本文分别取 β=0.25 和 γ=0.5。将式 (11)
输入。根据上述输入输出关系和 3 部分子结构的动
代入式 (2) 中，即可求得：
力方程即可得到车桥实时混合试验系统数学模型：
−1 ˆ （12）
q i = K × P i+1
[ ]

 M q ¨ q(t)+C q ˙ q(t)+ K q q(t) = ϕ(vt) F f (t)+ F g (t)
 式中，


 T
 x I (t) = ϕ (vt)q(t)


 1 γ

 −τs （10） K = K q + M q + C q ,
 x g (s) = e [x I (s)+ x s (s)]
 β∆t 2 β∆t



 M v ¨ x v (t)+C v ˙ x v (t)+ K v x v (t) = −M v I v ¨x g (t) [ ( ) ]

 1 1 1

 ˆ
F f (t) = −m w ¨x g (t)+c b v b (t)+k b x b (t) P i+1 = ϕ(vt i )P i + M q 2
 q i + ˙ q i + −1 ¨ q i +
β∆t β∆t 2β
[ ( ) ( ) ]
式中，x s (s) 为轨道不平顺位移时间序列 x s (t) 的拉普 γ γ ∆t γ
C q q i + −1 ˙ q i + −2 ¨ q i （13）
拉斯变换。 β∆t β 2 β
从各个子系统的动力方程可以看出，各子系统 求得桥梁的模态位移 q 后，即可代入式 (11) 求得
都是时不变系统。但是对于整体走行车桥系统，由 模态速度和加速度。对上述求解过程进行整理，可
于车辆和桥梁的相对运动，系统动力方程中存在着 以得到桥梁部分的离散状态方程：
T
状态量与时变函数的乘积项 ( ϕ(vt)F f (t)和 ϕ (vt)q(t))， z b,i+1 = [ q i+1 ˙ q i+1 ¨ q i+1 ] = A b z b,i + B b,i+1 P i+1 （14）
T
因此该系统属于时变系统。虽然理论上看，可以基 式中，z b, 为第 i 时刻的桥梁状态量，包括当前时刻的
i
于李雅普诺夫第二法进行该系统的稳定性判断 [19,28] ， 桥梁模态位移、模态速度和模态加速度；A b 为数值
但是该理论的稳定性证明过程比较复杂，而且往往 子结构的状态转移矩阵；B b, 为第 i 时刻的荷载输入
i
只能得到稳定性的充分或者必要条件；另外考虑状 向量；P i 为第 i 个时刻数值子结构受到的荷载；A b 和
态量与时变函数的乘积项推导该系统的传递函数时 B b, 的表达式见附录 A。
i
需要进行频域卷积运算，难以获得该系统传递函数 式 (10) 中物理子结构的输入是加速度，因此本
的解析解，这意味着基于传递函数的稳定性分析方 文选取移动界面的竖向加速度作为数值子结构的输