Page 58 - 《振动工程学报》2025年第9期

1988 振 动 工 程 学 报 第 38 卷

达式： （13a）
S ii (ω) = S 0,i
w t
a(t) = h a (t −τ)w(τ)dτ （7） √ （13b）
0 S ij (ω) = γ ij (ω) S 0,i S 0,j
式中， h a (t)表示绝对加速度的脉冲响应函数，可表示为： 式中， S 0,i 为对应于白噪声分量过程 w i (t)的双边功率
2
h a (t) =2ξ g ω g h v (t)+ω h d (t) = ω g e −ξ g ω g t 谱密度函数；n 表示随机向量过程中分量过程的数
g
 2  量； γ ij (ω)为平稳地震动过程 a i (t)和 a j (t)（亦即 ¯ w i (t)和
(1−2ξ )ω g 
g

 sin(ω D t)+2ξ g cos(ω D t)，t ⩾ 0 （8）
 

  ¯ w j (t)）的空间复相干函数。
ω D
在式 (2)、(4) 和 (7) 中， w(t)为一类具有无限带宽 根据式 (12) 和 (13)， ¯ w(t)的相干函数矩阵可进一
的白噪声过程，这在实际工程中并不存在，也难以实 步定义为：
现。鉴于此，采用有限带宽的白噪声过程 ¯ w(t)代替无   1 γ 12 (ω) ··· γ 1n (ω)  
       
限带宽的白噪声过程 w(t)，其功率谱密度函数为：  γ 21 (ω) 1 ··· γ 2n (ω)   


γ(ω) =   . . .   （14）
 . . . 
{   . . .  
   
S 0 ,|ω| ⩽ ω u    
S (ω) = （9） γ n1 (ω) γ n2 (ω) ··· 1
0,其他
式中，ω 为频率； ω u 为截止频率。 在地震工程中，平稳地震动随机场不同作用点
因此，有限带宽的白噪声过程 ¯ w(t)应当满足如下 间的空间相干函数可表示为 [21] ：
{ [ ]}
site
条件： γ ij (ω) = γ incoh (ω)·exp i θ wave (ω)+θ (ω) （15）
ij
ij
ij
E[ ¯ w(t)] = 0 （10a） 式中， γ incoh (ω)表示迟滞相干效应，主要由空间两点
ij
2S 0 sin(ω u (t −t )) 间的距离差引起；i 表示虚数单位； θ wave (ω)表示行波
′
′
E[ ¯ w(t) ¯ w(t )] = （10b） ij
t −t ′ 效应，主要由地震波到达两点的时间差引起 [22-23] ，即
式中， E[·]表示数学期望；0≤t'≤t。实际上，当 t → t
′
d ij
wave
时， limE[ ¯ w(t) ¯ w(t )] = 2S 0 ω u 。 θ ij (ω) = −ω （16）
′
t ′ →t v app
对于非平稳地震动过程，在式 (7) 所示的平稳地
θ (ω)表示场地效应，主要由不同作用点所处的场地
site
ij
震动过程基础上，利用强度调制函数 f(t)进行调幅，
差异引起 [22-23] ，即
即可得到基于过滤白噪声模型的非平稳地震动过程 [ ]
Im H i (ω)H (−ω)
j
site
时域表达形式： θ (ω) = arctan [ ] （17）
ij
w t Re H i (ω)H (−ω)
j
˜ a(t) = f(t) h a (t −τ)· ¯ w(τ)dτ （11）
0 式 中， v app 为 视 波 速 ， d ij 为 i、 j 间 的 向 量 距 离 ， v app 与
实际上，式 (11) 表示的过滤白噪声模型仅适用
d ij 的方向可能一致，也可能相反； H i (ω)和 H j (ω)分别
于地震动过程的模拟，而对于地震动向量过程，由于
为地震动作用点 i 和 j 处的绝对加速度传递函数，即
脉冲响应函数 h a (t)难以体现不同地震动分量过程之
2
¯ ω +2i ¯ ξ g,i ¯ω g,i ω
g,i
间的相干性，因而无法直接实现地震动向量过程，即 H i (ω) = （18）
( ¯ω −ω )+2i ¯ ξ g,i ¯ω g,i ω
2
2
g,i
地震动场的模拟。然而，若可提前得到具有空间相
式中， ¯ ω g,i 和 ¯ ξ g,i 分别为场地土卓越圆频率和阻尼比的
干性的有限带宽白噪声向量过程 ¯ w(t)，并利用相应的
均值。
脉冲响应函数和调制函数对不同的白噪声分量过程
一 般 地， 相 干 函 数 矩 阵 γ(ω)为 一 个 非 负 定 的
滤波调幅，便可实现基于过滤白噪声模型的全非平
Hermitian 矩阵，可对其进行特征分解：
稳地震动随机场的模拟。

{ ∗ T
γ(ω) = Ψ(ω)Λ(ω)(Ψ ) (ω) （19）
T
∗)
(Ψ (ω)Ψ(ω) = I
2 白 噪 声 向 量 过 程 的 POD 降 维 表 达
式 中， Ψ(ω)和 Λ(ω)分 别 为 特 征 向 量 矩 阵 和 特 征 值
，
[
]
对角矩阵， Ψ(ω) = ψ 1 (ω),ψ 2 (ω),··· ,ψ n (ω) Λ(ω) = diag
对 于 有 限 带 宽 的 白 噪 声 向 量 过 程 ¯ w(t) = [ ¯w 1 (t),
[Λ 1 (ω),Λ 2 (ω),··· ,Λ n (ω)]； 上 标 “ *” 表 示 共 轭 ； I 为
¯ w 2 (t),··· , ¯w n (t)] ，可采用本征正交分解（POD）方法进
T
n×n阶的单位矩阵。
行模拟。根据式 (9)，白噪声向量过程的双边功率谱
进一步，令特征向量为：
密度函数矩阵 S(ω)可表示为：
ψ j (ω) = χ j (ω)+iZ j (ω)； j = 1,2,··· ,n （20）
 
 S 11 (ω) S 12 (ω) ··· S 1n (ω) 
 
  T
 S 21 (ω) S 22 (ω) ··· S 2n (ω)   Z j (ω) =
  式 中， χ j (ω) =[χ 1j (ω),χ 2 j (ω),··· ,χ nj (ω)] ，

 
 
  （12）
S(ω) =  . . . 
T
 . . .  [Z 1 j (ω),Z 2 j (ω),··· ,Z nj (ω)] 。
 
 . . . 
 
 
 
 
S n1 (ω) S n2 (ω) ··· S nn (ω) 于是，有限带宽的白噪声向量过程 ¯ w(t)的第 i 个
其中： 分量过程的 POD 表达式如下 [24] ：