Page 57 - 《振动工程学报》2025年第9期

第 9 期 姜云木，等：全非平稳地震动随机场的时-频域混合降维模拟 1987

[1]
抗震设防区的占 74.5% 。因此，对土木工程结构进 场地土参数来实现。此外，由于过滤白噪声模型中
行有效的抗震设计，保证结构在服役期内的可靠性， 脉冲响应函数难以体现相干性，因此难以实现对地
是减小地震损失、保护人民生命财产安全的基础和 震动向量过程的模拟。鉴于此，本文利用频域方法
前提。目前，在进行工程结构地震反应分析时，多采 生成具有相干性的白噪声响应过程，并引入脉冲响
用实测强震记录作为外部激励，这虽然便于工程应 应函数和时-频调制函数实现全非平稳地震动随机
用，但却忽略了地震动的随机性。虽然近年来实测 场的时-频域混合表达。这样可为大跨结构抗震分
强震记录数量大幅增加，但由于场地条件多样、地 析时所需的多点激励提供合理的地震输入。
震环境复杂等原因，现有强震记录仍难以满足工程 实际上，无论是时域方法或频域方法，均可看作
结构抗震分析的需求。鉴于此，基于随机振动理论 是一系列正交随机变量与确定性函数之积的线性叠
的地震动人工模拟方法备受瞩目。 加形式，这为引入随机函数的约束，从而实现正交随
人工地震动的模拟方法大致分为确定性方法和 机变量的高效降维提供了便利 [17] 。此外，由于降维
随机性方法两大类。其中，确定性方法以地震学和 方法所生成的代表性样本具有赋得概率，且构成一
地质学为理论基础，该类方法通过震源断层破裂、 个 完 备 的 概 率 集， 可 与 第 三 代 结 构 设 计 理 论 相 结
传播路径等物理机制模拟地震动，主要包括有限断 合 [18-19] ，实现复杂工程结构的精细化动力响应分析与
层法、格林函数法等，但该类方法受制于对地震发 整体可靠度计算。

生机制认知的不确定性。随机性方法以随机过程及
随机振动理论为基础，从随机过程的功率谱出发，通 1 地 震 动 过 程 的 过 滤 白 噪 声 模 型
过统计分析来描述地震动的随机性。随机性方法大
致可分为时域方法和频域方法两类。其中时域方法 在地震工程中，过滤白噪声模型将场地土层看

主要包括过滤白噪声模型、ARMA 模型等；频域方 作一类单自由度的线性滤波器，且地震引起基岩运
法 主 要 包 括 谱 表 示 法（ spectral representation method, 动的加速度过程假定为一个零均值的无限带宽的白
SRM）、本征正交分解（proper orthogonal decomposition， 噪声过程 w(t)，其双边功率谱密度为 S 0 。因此，地表
POD）等。对于时域方法，过滤白噪声模型最早可追 土层的运动方程 [20] 如下：
溯到 1957 年提出的 Kanai-Tajimi 功率谱 。事实上， ¨ X(t)+2ξ g ω g X(t)+ω X(t) = −w(t) （1）
[2]
˙
2
g
对于白噪声过程激励的单自由度线性动力系统，其
式中， ¨ X(t)、 ˙ X(t)和X(t)分别为地震地面相对于基岩的
频域解为 Kanai-Tajimi 功率谱，而时域解即为过滤白
加速度、速度和位移响应； ω g 和ξ g 分别为地表土层的
噪声模型 [3-4] 。随后，REZAEIAN 等 [5-6] 系统地研究了
卓越圆频率和阻尼比。
过滤白噪声模型的理论基础及其时变模型参数，提
考虑到初始条件为零，根据 Duhamel 积分 [20] ，地
出了基于地震场景的全非平稳地震动过程模拟方
震地面运动的相对位移响应为：
法 。 自 回 归 滑 动 平 均（ autoregressive moving average, w t
X(t) = − h d (t −τ)w(τ)dτ = −h d (t)∗w(t) （2）
ARMA）模型本质上是一类时间序列分析方法，由自 0
式 中， ∗表 示 卷 积 算 子 ； τ 表 示 时 间 变 量 ， 0≤τ≤t；
回 归（ autoregressive, AR） 模 型 和 滑 动 平 均 （ moving
[7]
average, MA）模型组成 ，最早由 JURKEVICS 等 [8] 引 h d (t)为相对位移的单位脉冲响应函数，可表示为：
1
入地震工程中，该模型的模拟效果主要由其阶数决 h d (t) = exp(−ξ g ω g t)sin(ω D t)，t ⩾ 0 （3）
ω D
定。对于频域方法，谱表示（SRM）最早由 SHINOZUKA √
式中， ω D = ω g 1−ξ 。
2
等 [9] 正式提出，在随后的五十年里，国内外学者对谱 g
根据卷积运算的微分性质，地震地面运动的相
表示方法开展了一系列研究工作 [10-13] ，取得了丰硕的
对速度响应为：
成果。随后，DI PAOLA等 [14-16] 建立并发展了基于功
w
t
率谱密度矩阵的特征分解——本征正交分解（POD） ˙ X(t) = − 0 h v (t −τ)w(τ)dτ （4）
方法，并将该方法分别应用于海浪随机场、风速随 式中， h v (t)为相对速度的脉冲响应函数，其表达式为：
机场以及地震动随机场的模拟。 h v (t) =h d ′(t) =
本质上，时域方法和频域方法具有统一的理论 −ξ g ω g t [ ξ g ω g ]
e cos(ω D t)− sin(ω D t) ，t ⩾ 0 （5）
背景，均可看作是 Fourier-Stieltjes 积分的不同表现形 ω D
式。在时域模型中，过滤白噪声模型具有明确的物 地震地面运动的绝对加速度可表示为：
˙
2
理意义，并易与地震场景结合，是工程中常用的模 a(t) = ¨ X(t)+w(t) = −2ξ g ω g X(t)−ω X(t) （6）
g
型 。 但 该 模 型 在 实 现 随 机（ 向 量 ） 过 程 的 时 -频 将式 (2) 和 (4) 代入式 (6) 中，并利用式 (3) 和 (5)，
全非平稳性方面只能通过引入强度调制函数和时变 即可得到地震地面运动绝对加速度的过滤白噪声表