Page 59 - 《振动工程学报》2025年第9期

第 9 期 姜云木，等：全非平稳地震动随机场的时-频域混合降维模拟 1989

n ∑ N ∑ √ n ∑ N ∑ √
sin(0.5ω k ∆t)
¯ w i (t) =2 S 0,i Λ j (ω k )∆ω· W i (t l )=4 S 0,i Λ j (ω k )∆ω× ×
ω k
j=1 k=1 j=1 k=1
{ [ ] {[ ]
χ ij (ω k ) R jk cos(ω k t)− I jk sin(ω k t) − R jk χ ij (ω k )− I jk Z ij (ω k ) cosω k (t l −0.5∆t)−
[ ]} [ ] }
Z ij (ω k ) R jk sin(ω k t)+ I jk cos(ω k t) （21） I jk χ ij (ω k )+R jk Z ij (ω k ) sinω k (t l −0.5∆t) （26）
式 中， i = 1,2,··· ,n； N 为 频 率 离 散 数 量 ； ω k 表 示 第 最后，将式 (26) 代入式 (25) 中，得到第 i 个非平
k 个频率离散步； ∆ω为频率步长， ω u = N ·∆ω R jk 和 稳地震动分量过程 ˜ a i (t)的时-频域降维表达式：
；
I jk 为零均值的正交随机变量，满足如下基本条件： m ∑∑ N ∑
n
√
˜ a i (t) ≈4f i (t) S 0,i ∆ω h a,i (t −t l )×
E R jk = E I jk = 0，E R jk I sl = 0，
]
[
[ ]
[
]
l=1 j=1 k=1
1
[ ] [ ] √ sin(0.5ω k ∆t)
E R jk R sl = E I jk I sl = δ js δ kl （22） Λ j (ω k ) ×
2
ω k
式中， j, s = 1,2,··· ,n；k,l = 1,2,··· ,N。 {[ R jk χ ij (ω k )− I jk Z ij (ω k ) cos[ω k (t l −0.5∆t)]−
]
]
}
实际上，随机向量过程模拟的 POD 方法属于传 [ I jk χ ij (ω k )+R jk Z ij (ω k ) sin[ω k (t l −0.5∆t)] ；
统 Monte Carlo 方法，通常需要成千上万个随机变量， t ∈ [t m ,t m+1 )；m = 1,2,··· , M （27）
且需生成上万条样本才能达到工程要求的模拟精 传统上，由于过滤白噪声模型属于时域模型，因
度，这将极大地影响结构非线性随机动力反应分析 此只能引入强度调制函数来表现地震动过程的强度
的计算效率。此外，由于 Monte Carlo 方法随机抽样 非平稳性，而频率非平稳性则需要通过引入时变的
的本质，导致生成的样本概率信息不全，因此无法进 场地土参数来实现。不同的是，本文建议的地震动
行概率密度层面上精细化的结构动力反应与可靠性 随机场时-频域降维模型可方便地引入时-频调制函
分析。为克服上述问题，引入基于随机函数的降维 数 A i (t,ω)来代替强度调制函数 f i (t)，从而更好地实现
思想，将随机变量 { R jk ,I jk 定义为如下形式 [24] ： 地震动强度-频率全非平稳性的表达。
}
√
{ 全 非 平 稳 地 震 动 随 机 场 ˜ a(t)中 第 i 个 分 量 过 程
R jk = 2cos(s×Θ 1 +π /4)·sin(l×Θ 2 +π /4)
√ （23）
I jk = 2sin(s×Θ 1 +π /4)·cos(l×Θ 2 +π /4) ˜ a i (t)的离散形式可表示为：
n
m ∑∑ N ∑
√
式中， Θ q (q = 1,2)为 (0,2π)内均匀分布且相互独立的 ˜ a i (t)≈4 S 0,i ∆ω A i (t,ω k )×
基本随机变量。显然，式 (23) 建议的随机函数形式 l=1 j=1 k=1
√ sin(0.5ω k ∆t)
满足式 (22) 定义的基本条件。这样，仅需两个基本 h a,i (t −t l ) Λ j (ω k ) ×
ω k
随机变量即可模拟白噪声向量过程，从而有效克服 {[ ]
R jk χ ij (ω k )− I jk Z ij (ω k ) cos[ω k (t l −0.5∆t)]−
了传统 Monte Carlo 方法的不足之处。 [ I jk χ ij (ω k )+R jk Z ij (ω k ) sin[ω k (t l −0.5∆t)] } （28）
]

式中， A i (t,ω)为 ˜ a i (t)对应的时-频调制函数。这样，式 (28)
3 全 非 平 稳 地 震 动 场 的 时 - 频 域 降 维 表 达 即为强度-频率全非平稳随机地震动场的时-频域降
维表达式。
为建立全非平稳地震动场的时-频域混合降维模
在式 (28) 中，时-频调制函数 A i (t,ω)可采用以下
型， 对 于 第 i 个 非 平 稳 地 震 动 分 量 过 程 ˜ a i (t)， 根 据
模型 [25] ：
式 (11)，可得到其离散形式： exp(−a i ×t)−exp[−(c×ω+b i )×t]
w [ m ∑w A i (t,ω) = ] （29a）
t t l [
˜ a i (t) =f i (t) h a,i (t −τ)· ¯w i (τ)dτ = f i (t) h a,i (t −τ)+ exp(−a i ×t )−exp −(c×ω+b i )×t i ∗
∗
0 t l−1
l=1 ln(c×ω+b i )−ln(a i )
∗
] t = （29b）
w t i
¯ w i (τ)dτ h a,i (t −τ) ¯w i (τ)dτ ；m = 1,2,··· , M （24） c×ω+b i −a i
式 中， t 表 示 时 间 变 量 ； 参 数 c可 视 为 定 值 ， 取
*
t m c =
；
式中， M = int(T/∆t) m = int(t/∆t)，其中，int(·) 表示向 0.005 a i 为待定参数，且 b i = a i +0.001。
，
下取整， ∆t为时间步长， 为地震动模拟持时。 事实上，地震动过程的非平稳性包括强度非平
T
在微小时间段 t l−1 ⩽ t ⩽ t l 内，假定 h a,i (t −τ)为一常 稳和频率非平稳两方面，时-频调制函数能更全面地
数，且略去式 (24) 中的最后一项。这样，式 (24) 可以 反映地震动的非平稳特性。
近似写成： 绝对加速度的脉冲响应函数 h a,i (t −τ)的参数 ω g,i (τ)
和 ξ g,i (τ)可采用如下线性时变形式 [26] ：
m ∑ w
t l
˜ a i (t) ≈f i (t) h a,i (t −t l ) ¯ w i (τ)dτ；  ( 1 τ )
t l−1 
l=1  −
ω g,i (τ) = ¯ω g,i +d i

 2 T

t ∈ [t m ,t m+1 )；m = 1,2,··· , M （25）  ( ) （30）

 1 τ

w 

t l  ξ g,i (τ) = ¯ ξ g,i −e −
W i (t l ) = ¯ w i (τ)dτ，根据式 (21)，可直接积分得到：  2 T
t l−1