Page 40 - 《振动工程学报》2025年第9期

1970 振 动 工 程 学 报 第 38 卷

式中， A ( f)为成员函数的展开系数。式（12）中 V ∑ ( N −V +d −1 ) N ∑
i 1 ···i k j 1 ··· j k S 0 ( f) (−1) d
的 S 0 ( f)在 给定的情况下为一个常数，可以将其作 d
f
d=0 m 1 ,··· ,m V−d = 1;
为一个特殊的展开系数。此时，展开系数可由原函
m 1 < ··· < m V−d
数 S ( f,ε)对随机变量 ε的联合概率密度函数 f ε (ε)及 n ∑ n ∑
多项式基底积分获得： ··· w p m V−d ···w p m 1 S V−d ( f,θ V−d ) （21）
=1 =1
p m V−d p m 1
w
S 0 ( f) = S ( f,ε) f ε (ε)dε （15） V ∑ ( )
A N d N −V +d −1
A ( f) (−1)
i 1 ···i k j 1 ··· j k
w k ∏ d
( ) d=0
A ( f) = S ( f,ε) ψ j l ε i l f ε (ε)dε （16）
i 1 ···i k j 1 ··· j k
A N N ∑ n ∑ n ∑
l=1
··· w p m V−d ···
式中， A 表示 维随机变量的积分域。当函数的变 m 1 ,··· ,m V−d = 1; p m V−d =1 p m 1 =1
N
N
量数 N较大时，上述积分的计算成本巨大。这里对 S ( f,ε) m 1 < ··· < m V−d
进行降维，由此降低展开系数的计算成本。通过在 k ∏ ( )
S V−d ( f,θ V−d ) （22）
T
不确定参数 ε的均值 µ = {µ 1 ,µ 2 ,µ 3 ,··· ,µ N } 处对 S ( f,ε) w p m 1 ψ j l θ p i l
l=1
进行泰勒展开，后对每个频点处的不确定性函数进
式中， θ V−d 为选取的积分节点向量； w p m i (i = 1,2,··· ,
行降维积分，限于篇幅，下文仅给出必要的公式，具 )
V −d; p m i = 1,2,··· ,n 是 与 积 分 节 点 θ p m i 对 应 的 权 重
体推导这里不再详述，可参考文献 [15]。使用降维
系 数， 二 者 由 高 斯 积 分 类 型 决 定 ； S V−d ( f,θ V−d )由
公 式 对 S ( f,ε)进 行 V (V ⩽ N)元 近 似 为 b ( f,ε)， 表 达
S V
S V−d ( f,ε)中随机变量替换为积分节点值得到，其表
式写为：
达式为：
( )
V ∑ N −V +d −1
b ( f,ε) = (−1) d × ,µ m 1 +1 ,··· ,
S V S V−d ( f,θ V−d ) =S ( f,µ 1 ,µ 2 ,··· ,µ m 1 −1 ,θ p m 1
d
d=0
,µ m V−d +1 ,··· ,µ N ) （23）
µ m V−d −1 ,θ p m V−d

N ∑
S V−d ( f,ε) （17）
2.2 随机振动响应的概率特征及代理模型构造
m 1 ,··· ,m (V−d) = 1;
m 1 < ··· < m (V−d)
通过上述计算，可将积分节点值分别代入响应
式中，
函数的随机变量求解，进一步计算而得到展开系数
,µ m 1 +1 ,··· ,
S V−d ( f,ε) =S ( f,µ 1 ,µ 2 ,··· ,µ m 1 −1 ,ε m 1 S 0 ( f)与 A ( f)在各频点处的值，使用符号 E[∗]
i 1 ···i k j 1 ··· j k
,µ m V−d +1 ,··· ,µ N ) （18）
代表对随机变量*的数学期望，由此可得出随机振动
µ m V−d −1 ,ε m V−d
将式 (15) 和 (16) 中的原函数 S ( f,ε)降维为 b ( f,ε)， 响应的均值和方差为：
S V
可得：
E[S ( f,ε)] = S 0 ( f) （24）
( )
V ∑ N −V +d −1 N ∑
q
S 0 ( f) (−1) d V ∑ N−k+1 N ∑ ∑
∑
] 2
d E S ( f,ε)−S 0 ( f) =
[
d=0 ··· ···
m 1 ,··· ,m V−d = 1;
k=1 i 1 =1 i k =i k−1 +1 j 1 =1
m 1 < ··· < m V−d q
∑[ ] 2
V−d
w ∏ A i 1 ···i k j 1 ··· j k ( f) （25）
S V−d ( f,ε) f m l ( ε m l ) dε m l （19） j k =1
A V−d
l=1
此时可以得到随机振动响应谱的均值和标准
( )
N −V +d −1 差，但是其分布形式无法确定，即概率密度函数仍未
V ∑
A ( f) (−1) d
i 1 ···i k j 1 ··· j k d
d=0 知 。 对 于 该 问 题， 可 以 取 足 够 的 随 机 变 量 代 入 式
N ∑ w (12)，得到响应样本比进行概率统计即可得到概率密
S V−d ( f,ε)
A V−d 度函数图像，当系统模型自由度多、求解计算量大
m 1 ,··· ,m V−d = 1;
时，可对其响应谱函数进行维数分解，利用求得的展
m 1 < ··· < m V−d
V−d
∏
k ∏ 开系数构造代理模型快速获取大量的随机振动响应
( ) ( )
（20）
样本。
ψ j l1 ε i l1 f m l2 ε m l2 dε m l2
l1=1 l2=1
由于很多情况下 S ( f,ε)并不具有显式表达式，这 构造响应功率谱密度函数不确定性量化的代理
时就需要对式 (19)、(20) 的积分使用高斯积分法进行 模型时，应从式 (12) 中仅选取前 0~U 维成员函数对
数值求解，对每个变量选取积分节点数目为 n，进行 原函数进行近似，即对式 (12) 的前 U +1项进行截断，
2n+1次精度的高斯积分，即可计算得到任意展开系 并将成员函数的展开形式式 (14) 代入其中，最终得
数的值： 到原随机函数的显示近似表达式，以此作为随机振