Page 39 - 《振动工程学报》2025年第9期

第 9 期 毛晨洋，等：路面不平顺作用下具有不确定参数车辆系统随机振动分析 1969

因轮对间距的影响，车辆系统受到相同但存在时间 对虚拟位移的时间变量求二阶导可求得虚拟加
差的路面激励，对应的具有完全相干效应的虚拟激 速度，进一步推导得到加速度功率谱密度矩阵为：
励可以进一步构造为： S ¨y¨y ( f,ε) = (2πf) ·S yy ( f,ε) （10）
4
{ } { }
˜ q 1 (t) ˜ q 1 (t) 对于零均值平稳随机过程，可对自功率谱密度
˜ x(t)= = =
˜ q 2 (t) ˜ q 1 (t −τ)
函数 S ¨y¨y (f,ε)积分后开方得到结构上某一点加速度响
{ }
√ 1
G q ( f)e i2πft −i2πfτ , 应的均方根：
e √
w
+∞
τ = L/v （5） σ ¨ y (ε) = 2 S ¨y¨y ( f,ε)df （11）
0

此 时 车 辆 系 统 受 路 面 激 励 的 功 率 谱 密 度 矩
阵为：
[ −i2πfτ ] 2 随 机 车 辆 系 统 不 确 定 分 析 的 PDD
1 e
T
G q ( f) = ˜ x (t) ˜ x (t) = i2πfτ G q ( f) （6） 方 法
∗
e 1
式中，上标“*”表示复共轭。

在结构存在不确定性参数时，计算得到的随机
1.3 具有不确定参数系统随机振动分析的虚拟 振动响应也存在不确定性，例如，对含有不确定性参
激励法 数的结构进行观测，其响应功率谱 S ( f,ε)本身即为随
机函数。下面应用 PDD 方法构建代理模型求得随
将系统所受的路面随机位移激励 x(t)替换为虚
机振动响应的概率特性，这种方法属于非介入计算
拟路面激励 ˜ x(t)，运动方程 (1) 可改写为：
方法，且仅对确定性模型进行少量样本计算。

M(ε) ¨ ˜ y+C(ε) ˙ ˜ y+ K(ε) ˜ y = K q ˜ x(t) （7）
对于随机系统，系统参数的不确定性将传递给 2.1 随机振动响应的正交多项式分解
虚拟位移响应，得到虚拟随机位移响应表达式为： 设 S ( f,ε)为包含不确定性参数动力系统观测点
{ }
√ 1
˜ y( f,ε) = H( f,ε) G q ( f) −i2πfτ e i2πft （8） 响应的功率谱密度函数。考虑 S ( f,ε)在每个确定的
e
频点处对随机变量 ε在任意点 ε = c = {c 1 ,c 2 ,c 3 ,··· ,c N } T
式中， H( f,ε)为频响函数矩阵。
进行多元泰勒展开，通常情况下，泰勒展开式按照变
进一步，位移功率谱密度矩阵可以通过虚拟位
量的求导阶数进行组合；而对于功率谱响应的不确定
移响应计算：
量化分析，参考文献 [9]，利用维数分解思想，将泰勒
T
∗
S yy ( f,ε) = ˜ y (f,ε)˜ y ( f,ε) （9） 展开的每一项按照随机变量数目进行组合，如下所示：
∞
∂ S ( ) j 1 1 ∂ S ( ) j 1 ( ) j 2
N ∑ ∞ ∑ j 1 N ∑ ∑ ∞ ∑ j 1 +j 2
S ( f,ε) = S ( f, c)+ ( f, c) ε i 1 −c i 1 + ( f, c) ε i 1 −c i 1 ε i 2 −c i 2 +
∂ε j 1 j 1 ! j 2 ! ∂ε ∂ε j 2
j 1
i 1 =1 j 1 =1 i 1 i 1 =1;i 1 <i 2 j 1 =1 j 2 =1 i 1 i 2
1 ∂ S ( ) j 1 ( ) j R ( )
N ∑ ∞ ∑ ∞ ∑ j 1 +···+ j R
··· ( f, c) ε i 1 −c i 1 ··· ε i R −c i R +S i 1 ···i N f,ε ,··· ,ε i N =
j 1 !··· j R ! ∂ε ···∂ε j R i 1
j 1
i 1 =1;i 1 <···<i R j 1 =1 j R =1 i 1 i R
N ∑ N ∑ N ∑
( ) ( )
( ) ( )
S 0 ( f)+ S i 1 f,ε i 1 + S i 1 i 2 f,ε i 1 ,ε i 2 ···+ S i 1 ···i R f,ε ,··· ,ε i R +···+S i 1 ···i N f,ε ,··· ,ε i N （12）
i 1 i 1
i 1 =1 i 1 =1;i 1 <i 2 i 1 =1;i 1 <···<i R
当频率 f 为一确定值时， S ( f,ε)则可以写为 S (ε)， 标准化后作为正交多项式的基底。很多情况下，随
则等同于使用 PDD 方法进行静力分析。式 (12) 中 机变量 ε服从高斯、均匀和 Beta 分布，与这些分布形
( ) ( ) ( )
f,ε ， 为泰 式对应的正交多项式的基底已被推导出来并可以直
S i 1 S i 1 i 2 f,ε i 1 ,ε i 2 ，···，S i 1 ···i N f,ε ,··· ,ε i N
i 1 i 1
勒展开后含有相同变量数的项，称其为成员函数。 接使用，它们分别为 Hermite、Legendre 和 Jacobi 正交
对含有 k个随机变量的成员函数使用正交多项 多项式的基底。将随机函数直接展为展开系数和正
式进行展开，有： 交多项式基底乘积形式的级数形式，其概率收敛的
等效性已经被证明 [10] 。
∞ ∑ ∞ ∑ k ∏
( ) ( )
= ... ( f)
S i 1 ...i k f,ε ,··· ,ε i k A i 1 ...i k j 1 ... j k ψ j l ε i l
i 1 由于式（13）的 Fourier 多项式展开 [9] 具有无穷多
j k =1 j 1 =1 l=1
（13） 项，在计算中通常需要将其进行截断，对各个变量取
式中， ψ j (ε)为正交多项式的基底，基底形式可由不 前 q阶多项式为：
q
确定性参数 ε服从的分布类型确定。将随机参数的 ( ) ∑ ∑ k ∏
q
... A i 1 ...i k j 1 ... j k ( f) ψ j l ( )
S i 1 ...i k
f,ε ,··· ,ε i k
ε i l
概率密度函数作为 Schmidt 正交化中的权函数，通过 i 1
j k =1 j 1 =1 l=1
进行 Schmidt 正交化构造出正交多项式，并对其进行 （14）