Page 160 - 《振动工程学报》2025年第9期

2090 振 动 工 程 学 报 第 38 卷

c r1 方程 [17] 可以导出转子系统的运动方程为：
k r1
（1）
M¨ u+ΩG˙ u+C˙ u+ Ku = F e + F i
z
i y 式中， M G C和 K分别表示质量矩阵、陀螺矩阵、
、 、
Ω ψ i O
i
b 阻尼矩阵和刚度矩阵，表达式见附录 A 中式（A1）～
x
O θ i （A4）； F e 为由动能导出的由各圆盘质量不平衡引起
i
L M v
1 1 1
的激励矢量，表达式见式（A5）； F i 表示转子 2 与静子
之间的作用力，表达式见式（A6）；u 为静止坐标下的
g d
1
转子1 位移矢量，表达式为：
c r2 [ ] T
u = ψ 1 θ 1 ψ 2 θ 2 （2）
k r2 转子 2 在静子长度 a处的径向位移表达式为：
转子2 [ ] 2 2
2
r = L 1 ψ 1 +(L 2 −a)ψ 2 +[L 1 θ 1 +(L 2 −a)θ 2 ] （3）
k s 将运动方程从静止坐标系向旋转坐标系变换 [18] ：
k s
L 2 u = T ˜ u （4）
c 式中， ˜ u为旋转坐标系中的向量； T为变换矩阵，定
a
义为：
M 2   cos(Ωτ) −sin(Ωτ) 0 0 
  
 
  sin(Ωτ) cos(Ωτ) 0 0  

d    
2 T =   
v    0 0 cos(Ωτ) −sin(Ωτ)   
2  
 
(a) 模型示意图 0 0 sin(Ωτ) cos(Ωτ)
(a) Schematic diagram of the model （5）
由式 (4)、时间 τ、式 (5) 中定义的 T，有：
˙
˙ u = T ˙ ˜ u+T ˜ u （6）
˙
2
¨ u = T ¨ ˜ u−Ω ˜ u+2T ˙ ˜ u （7）
T ˙
˙
T
转子1 T T = TT = −ΩJ （8）
圆盘1 其中， J为：
 
 0 1 0 0 
 
   
 −1 0 0 0  

转子2 J =     0     （9）

 0 0 1  
 
 
0 0 −1 0
圆盘2
缓冲环 将式 (4)、(6) 和 (7) 应用于式 (1) 中，并在式 (1) 的
两侧乘以 T ，得到旋转坐标系中的表达式为：
T
M ¨ ˜ u+(−2MJΩ+GΩ) ˙ ˜ u+C ˙ ˜ u+
(b) 三维模型图 2 2 （10）
(K − MΩ −CJΩ−GJΩ )˜ u = F e + F i
(b) 3D model diagram
将静止坐标系中的运动方程转化为旋转坐标系
的优点是可以清楚地识别非线性系统动力学中各
项的贡献。其中： 2MJΩ为科氏加速度， MΩ 为向心
2
软化。

2 数 值 仿 真 分 析
为了揭示转静子碰撞诱导内共振机理，采用上
述建立的动力学模型，应用到某转子系统的动力参
ζ 1 ζ 2 为模态阻尼比，该参数用
数，如表 1 所示，其中 、
(c) 缓冲环结构示意图
、
(c) Schematic diagram of the buffer ring structure 来构建阻尼矩阵， ε 1 ε 2 为圆盘的偏心量。

图 1 转静子接触模型
2.1 内共振对应转速的确定
Fig. 1 The model of a rotor-stator interaction
g为重力加速度。 坎贝尔图可以展示转子线性系统的固有频率随
通过推导动能、势能和非保守力，利用拉格朗日 转速的变化规律，由于陀螺效应导致正反向模态频