Page 186 - 《振动工程学报》2025年第8期

1826 振 动 工 程 学 报 第 38 卷

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linearization approach for stochastic sensitivity analysis E‑mail： cvchsu@scut.edu.cn

附 录：
式（13）的推导过程：
令 ∂J k ∂U k = 0 ( λ + 1 ≤ k ≤ n )，并利用权矩阵 Q 和 R 的对称性，由式（12）可以推导得到：
é
k + q ê ê ( ) T ( k - 1 ) ù ú ú é ê ê k + q T ù ú ú
ê ê
k - λ
ê
T
U
U
F
U
U
U
ú ú
∑ê( a i，k) Q ∑ a i，j F j +( a i，k) Q ∑ a i，jU j úú Δt + ê ê∑( ) Q( ) Δt + R U k = 0，λ + 1 ≤ k ≤ n （A1）
a i，k
a i，k
i = k ë j = 1 j = λ + 1 û ë i = k û
调整式（A1）中的求和顺序并求逆，可以推导得到时滞最优控制力向量为：
é ê ê ( k + q T ) -1 ù ú ú é ê ê ( k + q T ) -1 ù ú ú
U
U
U
U
ê ê- ∑( ) Q( ) Δt + R ú ú ê ê- ∑( ) Q( ) Δt + R ú ú
a i，k
a i，k
a i，k
a i，k
k - λ ê ê k - 1 ê ê
U k = ∑ ê ê i = k k + q ú ú F j + ∑ ê ê i = k k + q ú ú U j ，λ + 1 ≤ k ≤ n （A2）
j = 1 ê ê U T F ú ú j = λ + 1 ê ê U T U ú ú
ê ê ∑( ) Q( ) Δt ú ú ê ê ∑( ) Q( ) Δt ú ú
a i，j
a i，k
a i，k
a i，j
ë i = k û ë i = k û
进一步，式（A2）可以简写为：
k - λ k - 1
U
F
U k = ∑ G k，j F j + ∑ G k，jU j，λ + 1 ≤ k ≤ n （A3）
j = 1 j = λ + 1
U
F
其中，增益矩阵 G k，j 和 G k，j 如式（14）所示。当 k = λ + 1 时，式（A3）等号右边仅有第一项。因此，最终所得时
滞最优控制力向量如式（13）所示。