Page 191 - 《振动工程学报》2025年第8期
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第 8 期 盛向前，等： 非平稳非高斯随机过程插值模拟方法 1831
进而计算潜在非平稳高斯随机过程的功率谱函数 函数，表示为：
Y
S j，k （ω，t）； e -0.25t - e -0.5t
g (t) = （19）
Y
（4） 根据潜在高斯随机过程功率谱函数 S j，k （ω，t） 0.25
Z
和式（14）进行非平稳高斯随机过程模拟，得到相应 Z（t）的演变功率谱密度函数 S（ω，t）为：
S (ω，t) = g (t) S (ω) （20）
Z
X
2
时程样本过程；
X
（5） 通过式（1）和非平稳高斯时程样本过程，得 式中，S（ω）为 X（t）的功率谱密度函数，表示为：
ω g + 4ξ g ω g ω 2
2
2
4
到具有特定目标功率谱和概率信息的非平稳非高斯 S (ω) = S 0 （21）
X
2
2
2
2
时程样本过程。 ( ω - ω g 2 ) + 4ξ g ω g ω 2
-3
式中，ω g =12.15 rad/s，ξ g =0.65，S 0 =0.07 m ∙s 。计
2
2 算例验证 算中，截止频率的上、下限分别为 ω U =100 rad/s 和
ω L =0，频率离散数目 N w 为 1000，时间延迟离散数目
为验证本文所提非平稳非高斯随机过程模拟方 N τ 为 256，时间离散数目 N t 为 1024。
法（记为建议法）的有效性，本节将通过两个算例对 对于均匀调制非高斯随机过程模拟，通常可对
其进行验证，其中算例 1 为单点均匀调制非高斯随 平稳非高斯随机过程 X（t）进行模拟得到样本随机
机过程模拟，算例 2 为多点非均匀调制非高斯随机 过程，再结合式（18），即可得到 Z（t）的样本随机过
过程模拟。为对比分析，本文同时考察文献［6］提出 程，其中结合文献［30］，d 和 M 的取值分别为 11 和
的潜在高斯随机过程的功率谱密度函数迭代求解方 3。为验证 Mehler 公式求解相关函数的精度，图 3 分
［4］
法，并将其与谱表示法 ［16］ 和无记忆非线性变换 结 别 绘 制 了 由 式（3）通 过 积 分 求 解 （记 为 标 准 解）、
合，获得相应非高斯随机过程（记为迭代法）。 Mehler 公 式 求 解 以 及 插 值 求 解 Y（t）的 相 关 函 数 。
随 机 过 程 Z（t）的 时 变 均 值 μ Z （t）、时 变 二 阶 矩 由图 4 可知，通过 Mehler 公式求解得到 Y（t）的相关
m Z，2 （t）、时变三阶矩 m Z，3 （t）、时变四阶矩 m Z，4 （t）、时变 函数能够与标准解在整个时间延迟上吻合，这表明
偏度 sw Z （t）和时变峰度 ks Z （t）的计算表达式如附录 Mehler 公式求解具有较高的计算精度，同时，插值
所示。 求解的结果与 Mehler 公式求解的结果完全吻合，这
表明插值求解能够精确确定潜在高斯随机过程的相
本文所有程序均在处理器为 i5‑12600 K、主频
关 函 数 。 随 后 ，基 于 1.1 节 和 1.2 节 ，分 别 通 过
为 3.70 GHz 和内存为 32 GB 的计算机上运行。
Mehler 公式求解和插值求解，得到 X（t）对应的潜在
2. 1 单点均匀调制非高斯随机过程模拟 高斯随机过程 Y（t）的功率谱密度函数 S（ω），如图 4
Y
所示。同时，由迭代求解得到的潜在高斯随机过程
对于单点均匀调制非高斯随机过程 Z（t），其边
的功率谱密度函数绘制于图 4。由图 4 可知，通过插
缘 密 度 函 数 为 Gamma 分 布 ，且 均 值 μ Z （t）、二 阶 矩
Y
值方法和 Mehler 公式求解得到的 S（ω）能够与标准
m Z，2 （t）、偏度 sw Z （t）和四阶矩 m Z，4 （t）的目标值如图 3
Y
解吻合，而通过迭代求解得到的 S（ω）虽然能够与
所示。Z（t）可由下式表示：
Z (t) = g (t) X (t) （18） 标准解相近，但在峰值处却表现出明显差异。为进
一步考察 Mehler 公式求解、插值求解和迭代求解的
式中，X（t）为平稳非高斯随机过程；g（t）为均匀调制
图 4 潜在高斯随机过程的功率谱密度函数
图 3 相关函数对比 Fig. 4 Power spectral density function of underlying
Fig. 3 Comparison of correlation function Gaussian stochastic process
