Page 192 - 《振动工程学报》2025年第8期

1832 振 动 工 程 学 报 第 38 卷

计 算 精 度 ，通 过 下 式 计 算 上 述 三 种 方 法 得 到 的
Y
S（ω）与目标解的差异 ε G ，即
+∞ 2
Y
ω
∫ [ S T( ) - S E( ) ] dω
ω
Y
ε G = 0 × 100% （22）
+∞ 2
ω
Y
∫ [ S T( ) ] dω
0
Y
式中，S E （ω）为 Mehler 公式求解、插值求解和迭代求
Y
解得到的潜在高斯随机过程的功率谱，S T （ω）为相
应的标准解。
由式（22）得到 Mehler 公式求解、插值求解和迭
代求解与目标解的差异分别为 0.0943%、0.0943%
和 9.97%。显然，Mehler 公式求解和插值求解能够
更为精确地计算潜在高斯随机过程的功率谱。需指
Y
出 的 是 ，通 过 Mehler 公 式 求 解 S （ω）的 时 间 为
Y
68.25 s，通过插值求解 S（ω）的时间为 0.51 s，而迭
Y
代求解花费 9.06 s 计算 S（ω）。其中在插值求解中，
Y
Z
0.19 s 用于确定 ρ 与 ρ 的关系，0.32 s 用于拟合和计
Y
算 S（ω）。同时，依据时间复杂度的概念 ［36］ ，插值求
解需要在每一个时间延迟点处计算潜在高斯随机过 图 5 时变统计矩
程的相关函数，共需循环计算 N τ 次，随后需要循环 Fig. 5 Time‑varying statistical moment
N w 次计算潜在高斯随机过程的功率谱函数，则插值
求解的时间复杂度为 O（N τ +N w ）。迭代求解在每
一次迭代循环中采用 N τ 次计算迭代非高斯随机过
程的相关函数，N w 次计算迭代非高斯随机过程的功
率谱函数。在本算例中，共采用 10 次循环判断迭代
非高斯随机过程的功率谱函数收敛目标非高斯随机
过 程 的 功 率 谱 函 数 ，则 迭 代 求 解 的 时 间 复 杂 度 为
O［10∙（N τ +N w ）］。显然，迭代求解的时间复杂度明
显高于插值求解的时间复杂度，进一步表明，插值求
解算法程序的高效性。上述结果表明插值求解能够
高效且精确地计算潜在高斯随机过程的功率谱密度 图 6 Z（t）的时程样本
Y
函数 S（ω）。 Fig. 6 The time-history samples of Z（t）
Y
在获得 S（ω）后，采用 14 个谐和分量进行高斯
随机过程模拟，得到 1000 条 Y（t）的样本过程，再通过
无记忆非线性变换得到对应 X（t）的时程样本，最终
通过式（18）获得 Z（t）的样本过程。由附录分别计算
Z（t）的时变统计矩，并绘制于图 5。由图 5 可知，由建
议法得到非高斯随机过程的前四阶矩能够与目标值
吻合，而迭代法得到的统计矩却与目标值有差异。
图 6 绘制了 3 条非平稳非高斯随机过程 Z（t）的时程
样本。从图 6 中可以看出，每条时程样本在整个时域
上表现出明显的非平稳特性。图 7 分别绘制建议法
和迭代法在 t =3 s 时的概率密度函数。由图 7 可知， 图 7 Z（t）（t=3）的概率密度函数
建议法的密度函数能够和目标密度函数在整个区间 Fig. 7 Probability density function of Z（t）（t=3）
吻合，而迭代法的密度函数在峰点处与目标密度函 的时变功率谱与目标谱在整个频域和时域上具有一
数有差异。图 8 分别绘制了由建议法和迭代法得到 致性，迭代法得到的时变功率谱幅值却与目标谱有
的时变功率谱。显然，建议法得到非高斯随机过程 一定差异。需指出的是，建议法和迭代法生成一条