Page 195 - 《振动工程学报》2025年第8期

第 8 期 盛向前，等： 非平稳非高斯随机过程插值模拟方法 1835

图 13 时程样本
Fig. 13 The time-history samples
Y
图 12 潜在高斯随机过程的时变功率谱密度函数 S 2，6 （ω，t）
迭代法的时变统计矩能够与目标值在整个时间域上
Y
Fig. 12 Power spectral density function S 2，6 （ω，t） of
吻合 ，且具有明显的非平稳特性。图 14 给出了 Z 2
underlying Gaussian stochastic process
（t）在 t=8.6 s 时的概率密度函数。由图 14 可知，建
议法和迭代法所对应的概率密度函数能够和目标密
解、迭代求解与标准解的差异可由下式计算：
度函数匹配。通过小波方法 ［37］ ，估计非平稳非高斯
∞ +∞ 2
)
∫ ∫ [ S T(ω，t - S E(ω，t ] ) dωdt 样本随机过程的时变功率谱 ，其中图 15 分别给出
Y
Y
Z
ε G = 0 0 × 100% S 2，2 （ω，t）的目标功率谱和估计得到的时变功率谱。
+∞ 2
∫ [ S T(ω，t ] ) dωdt 由图 15 可知，建议法和迭代法所对应的时变功率谱
Y
0
（31） 在时域和频域上能够与目标时变功率谱整体保持一
Y
式中，S E （ω，t）为 Mehler 公式求解、插值求解、迭代 致。在时变功率谱的初始时刻，目标功率谱和估计
求 解 计 算 得 到 的 潜 在 高 斯 随 机 过 程 的 功 率 谱 ； 功率谱存在一定差异，该差异的主要原因是小波估
Y
S T （ω，t）为潜在高斯随机过程的功率谱标准解。
由式（31）得到 Mehler 公式求解、插值求解和迭
代求解与目标解的差异分别为 0.7306%、0.7306%
和 32.7158%。Mehler 公式求解、插值求解和迭代求
Y
解 得 到 S 2，6 （ω，t）所 花 费 的 时 间 依 次 为 77824、2.15
和 2821.65 s。同时，插值求解在每一个时间点处需
进行 N τ 次潜在高斯随机过程的相关函数计算和 N w
次潜在高斯随机过程的功率谱函数计算，迭代求解
程序在每一次迭代循环中的每一个时间点处涉及
N τ 次迭代非高斯随机过程的相关函数计算和 N w 次
迭代非高斯随机过程的功率谱函数计算，本算例共采
图 14 Z 2 （t）（t=8. 6）的概率密度函数
用 15次迭代循环，则插值求解和迭代求解的时间复杂
Fig. 14 Probability density function of Z 2 （t）（t=8. 6）
度依次为 O［N t ∙（N τ+N w ）］和 O［15∙N t ∙（N τ+N w ）］。显
然，插值求解能够高效且精确地计算潜在高斯随机
过程的功率谱函数。
在确定潜在高斯随机过程的时变功率谱后，采
用 76 个谐和分量进行非平稳高斯随机过程模拟方
法，得到潜在高斯随机过程的 1000 条时程样本，并
结合式（1），即可获得非高斯随机过程的时程样本。
图 13 分别绘制了 Z 2 （t）、Z 5 （t）和 Z 9 （t）的时程样本。
从图 13 中可以明显看出，时程样本在整个时间域上
表现出明显的非平稳特性；同时，不同点处的时程样
本幅值有较大差异。基于建议法和迭代法得到的样
本过程，由附录分别计算时变统计矩 M Z2，2 （t）、M Z2，3 （t）
和 ks Z2 （t），并绘制于图 10。由图 10 可知，建议法和