Page 184 - 《振动工程学报》2025年第8期

1824 振 动 工 程 学 报 第 38 卷

4. 2 随机分析

由于 TD‑EOC 方法也适用于随机激励情况，因
此进一步考虑图 1 所示结构受到随机地震激励的作
用，并假定地震激励为零均值均匀调制非平稳随机
过程，它可以表示为：
0
a g ( t )= g ( t ) a g ( t ) （23）
-0.2t -0.4t 0
式中， g ( t )= e - e 为均匀调制函数； a g ( t ) 为
零 均 值 平 稳 随 机 过 程 ，其 功 率 谱 密 度 函 数 取 为
Kanai‑Tajimi 谱 ［27］ ，即 图 9 顶层位移标准差时程 （λ = 8）
ω g + 4ζ g ω g ω 2 Fig. 9 Time‑history of standard deviation of top‑storey
2
4
2
S ( ω )= S 0 （24）
( ω g - ω ) + 4ζ g ω g ω
0
a g 2 2 2 2 2 2 displacement （λ = 8）
2
式中，ω g = 15.708 rad/s，ζ g = 0.6，S 0 = 0.1 m /s 。 下的有效性。相比之下，NC‑EOC 的控制效果则远不
3
a g ( t )的相关函数可以表示为 ［28］ ： 如无时滞情况下 EOC 的控制效果，尤其是 λ = 8 时，
0
NC‑EOC 得到的顶层位移标准差甚至比无控情况下
πS 0 -ζ g ω g || τ
R ( τ )= e [ μ 1 cos( ω d τ )+ μ 2 sin ( ω d| τ | ) ]
0
2 的结果还大，这说明 NC‑EOC 在较长时滞下已完全失
a g
（25） 去控制效果。这与 4.1节得到的结论相一致。
其中： 在上述控制过程中，控制响应向量 v ( t )考虑为
2
ω g (1 + 4ζ g ) 结 构 状 态 向 量 V ( t )，为 6 维 控 制 向 量 。 为 了 考 察
2
ω d = ω g 1 - ζ g ，μ 1 = ，
TD‑EOC 的降维控制能力，控制响应仅取为结构顶
ζ g
2
ω g (1 - 4ζ g )
μ 2 = （26） 层位移。在保证控制力水平相一致的情况下，分别
2
考察各层位移的控制效果。以 λ = 8 为例，TD‑EOC
1 - ζ g
相应地， a g ( t )的相关函数可以表示为： 全维控制和降维控制得到的各层位移标准差时程如
( t，τ )= g ( t ) g ( t + τ ) R ( τ ) （27） 图 10 所示。从图 10 中可见，降维控制也能得到良好
R a g 0
a g
采用 TD‑EOC 和 NC‑EOC 两种控制方法对结 的控制效果，其中顶层位移和二层位移控制效果更
构进行控制，控制参数如前所述，其中权参数取为 好。这说明对于剪切型结构，无需对整个结构状态
θ = 7.5。在时滞步数 λ = 4 和 λ = 8 两种情况下，结 向量 V ( t )进行控制，仅针对顶层位移进行降维控制
构顶层位移标准差时程分别如图 8 和 9 所示。为了 即能获得理想的控制效果。
方便比较，在上述两图中，还同时给出无时滞情况
（t D = 0）下 显 式 最 优 控 制（explicit optimal control，
EOC）方法得到的顶层位移标准差时程，以及无控
情况下的顶层位移标准差时程。
从图 8 和 9 中可以看出，无论 λ = 4 还是 λ = 8，
TD‑EOC 的控制效果均仅次于无时滞理想情况下
EOC 的控制效果，验证了 TD‑EOC 在随机激励情况

图 10 全 维 控 制 和 降 维 控 制 下 各 层 位 移 标 准 差 时 程（TD-
EOC， λ = 8 ）
Fig. 10 Time-history of standard deviations of different
storeys with full‑dimension and dimension‑reduced
control （TD‑EOC， λ = 8）

5 结 论
图 8 顶层位移标准差时程 （λ = 4）
Fig. 8 Time‑history of standard deviation of top‑storey
displacement （λ = 4） 本文在时滞系统动力响应时域显式表达式的基