Page 180 - 《振动工程学报》2025年第8期

1820 振 动 工 程 学 报 第 38 卷

方法 ［6］ 、移相方法 ［7］ 、Padé 近似方法 ［8］ 、递推响应方 向量、速度向量和加速度向量； F ( t ) 为外部激励向
法 ［9］ 等 。 然 而 ，以 上 方 法 是 在 无 时 滞 控 制 律 的 基 量； U ( t ) 为时滞控制力向量，由于时滞 t D = λΔt 的
础 上 通 过 某 种 技 术 进 行 时 滞 补 偿 ，随 着 时 滞 的 增 影响，该控制力向量需要提前在时刻 t - t D 确定，其
加 ，控 制 系 统 的 性 能 和 受 控 结 构 的 稳 定 性 将 难 以 中 Δt 为时间步长， λ ≥ 1 为给定的时滞步数； L F 和 L U
保 证 ，因 此 这 些 补 偿 方 法 通 常 仅 适 用 于 短 时 滞 的 分别为 F ( t ) 和 U ( t ) 的定位矩阵； T 为外部激励的
情况 ［10］ 。 持时。值得注意的是，本文假设所有主动控制装置
为了处理长时滞的情况，不少学者在控制律的 的时滞相同，且为时间步长的整数倍。
设计阶段就考虑了时滞问题。基本思路是，首先将 定 义 结 构 状 态 向 量 V ( t )=[ X ( t ) X ( t ) ] ，
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T
T
T
时滞系统转化为等效无时滞系统，然后按无时滞系 式（1）可以改写为如下状态方程形式：
统进行控制律的设计，最后推导得到时滞控制律。
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V ( t )= HV ( t )+ W F F ( t )+ W U U ( t )，
在该思路下，一类是基于状态变换技术 ［11‑12］ 所发展 0 ≤ t ≤ T （2）
起来的方法。蔡国平等 ［13］ 利用这种变换技术发展了
其中， H、 W F 和 W U 可以表示为：
适用于时滞线性系统的经典最优控制方法。在此基 é 0 I ù
H = êê ê ê ú ú ú ú，
础上，安方等 ［14］ 提出了时滞加速度反馈控制器设计 ë-M -1 K -M -1 C û
方法。然而，这类方法所建立的控制律含有积分项， é 0 ù é 0 ù
W F = êê ê ê ú ú ú ú， W U = êê ê ê ú ú ú ú （3）
较难得到实际应用 ［15］ 。另一类是基于扩维格式所发 ëM -1 L F û ëM -1 L U û
展起来的方法。李卫等 ［16］ 以及 CAI 等 ［17］ 引入考虑 式中， 0 和 I 分别为零矩阵和单位矩阵。
时滞段内控制力的扩维状态向量，将时滞系统的状态 根据式（2），可以推导得到结构状态向量的递推
方程转化为无时滞系统的状态方程形式，进而基于扩 表达式为：
维状态向量建立经典线性二次型性能指标，最终通过 V i = TV i - 1 + Q 1W F F i - 1 + Q 2W F F i +
求解扩阶 Riccati 方程获得时滞最优控制力。基于扩 Q 1W U U i - 1 + Q 2W U U i，1 ≤ i ≤ n （4）
维格式的时滞控制方法还可以参考文献［18‑20］。然 式中 ， n = T/Δt 为 时 间 步 数 ； V i = V ( t i )， V i - 1 =
而，这类方法虽然能够有效处理长时滞的控制问题， V ( t i - 1 )， F i = F ( t i )， F i - 1 = F ( t i - 1 )， U i = U ( t i )，
但是扩维后状态方程的维数将大于原状态方程的维
U i - 1 = U ( t i - 1 )，其中 t i = iΔt， t i - 1 =( i - 1 ) Δt； T、 Q 1
数，特别是对于控制装置较多且时滞较长的情况，这 和 Q 2 根据 Newmark‑β积分格式确定，可以表示为 ：
［24］
将大大增加时滞控制律设计的计算量 ［21］ 。 T =-( H - R 1 ) -1 ( R 1 + R 2 H )，
最近提出的一类结构显式最优控制方法 ［22‑23］ 通 Q 1 =-( H - R 1 ) -1 R 2， Q 2 =-( H - R 1 ) ，
-1
过引入结构动力响应的时域显式表达式，将传统的 éa 3 I ù 0 éa 4 I ù I
R 1 = êê ê ê ú ú ú ú， R 2 = êê ê ê a 5 ú ú ú ú，
以运动微分方程为约束条件的线性二次型优化问题 ëa 0 I û 0 ëa 1 I a 2 û I
转化为无约束优化问题，从而直接获得显式最优控 1 1 1
a 0 = ， a 1 = ， a 2 = - 1，
制律，并且能够实现大规模结构的降维控制。在此 βΔt 2 βΔt 2β
基础上，本文进一步提出考虑时滞的结构显式最优 γ γ Δt γ
a 3 = ， a 4 = - 1， a 5 = ( - 2 ) （5）
控制方法，在时滞显式最优控制律设计中无需引入 βΔt β 2 β
扩维状态向量，且无需求解 Riccati 方程。以地震激 式中， γ = 0.5， β = 0.25，此时数值积分具有无条件
励下设置主动控制装置的三层剪切型结构为例，研 稳定性 ［25］ 。
究时滞对主动控制效果的影响，并验证所提方法的 不失一般性，假定 V 0 = 0， F 0 = 0， U 0 = 0，基于
有效性。 式（4）能够推导得到结构状态向量的时域显式表达
式为：
1 时 滞 系 统 动 力 响 应 的 时 域 显 式 表 i F i U
V i = ∑ A i，j F j + ∑ A i，jU j，1 ≤ i ≤ n （6）
达式 j = 1 j = 1
F
U
式中， A i，j 和 A i，j (1 ≤ j ≤ i ≤ n ) 分别为 F j 和 U j 的系
含主动控制装置结构的运动方程可以表示为： 数矩阵，仅取决于式（1）中的 M、 C、 K、 L F 和 L U，采用
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MX ( t )+ CX ( t )+ KX ( t )= L F F ( t )+ 如下闭合公式进行计算 ［22‑23］ ：
L U U ( t )，0 ≤ t ≤ T （1） ï ï F F
ì A 1，1 = Q 2W F， A 2，1 =(TQ 2 + Q 1 )W F
í A i，1 = TA i - 1，1，3 ≤ i ≤ n
式中， M、 C 和 K 分别为结构的质量矩阵、阻尼矩阵 ï ï F F （7）
ï ï F F
和刚度矩阵； X ( t )、X ( t )和 X ( t )分别为结构的位移 ï ï A i，j = A i - 1，j - 1，2 ≤ j ≤ i ≤ n
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