Page 182 - 《振动工程学报》2025年第8期

1822 振 动 工 程 学 报 第 38 卷

的时滞最优控制力向量 U k 取决于时刻 t 1 到 t k - λ 的已 式中，E（⋅）为数学期望； R F ( t，τ ) 为非平稳随机激励
向量 F ( t )的互相关函数矩阵。
测量外部激励向量 F j (1 ≤ j ≤ k - λ )，以及时刻 t λ + 1
到 t k - 1 的 时 滞 最 优 控 制 力 向 量 U j ( λ + 1 ≤ j ≤ k -
1 )。为了方便应用，由式（13）可以进一步推导得到 4 数值算例
仅用外部激励向量表达的时滞最优控制力向量为：
4. 1 确定性分析
U k = G k，1 F 1 + G k，2 F 2 + ⋯ + G k，k - λ F k - λ =
G k F [ k - λ ] ，λ + 1 ≤ k ≤ n （16）
以图 1所示含主动控制装置的三层剪切型结构为
T
T
T
T
式中， F [ k - λ ] =[ F 1 F 2 ⋯ F k - λ ] ； G k=[ G k，1 G k，2 … 数值算例，验证本文所提出的时滞显式最优控制方法
G k，k - λ ]，其中 G k，j (1 ≤ j ≤ k - λ )为对应于 U k 的系数 的有效性，其中 a g （t）表示地震激励。结构各层的质量
矩阵，可以表示为： 和 刚 度 分 别 取 为 m i = 4.0 × 10 kg 和 k i=2.5 ×
5
F 10 N/m ( i = 1，2，3 )，结构的基本周期为 0.4 s。采用
8
ï ï k - 1
ìG λ + 1，1 = G λ + 1，1
ï
ï
ï ï
U
F
í G k，1 = G k，1 + ∑ G k，j G j，1 ，λ + 2 ≤ k ≤ n （17） 瑞利阻尼模型，取结构第 1和 3阶振型的阻尼比为 ζ =
ï ï j = λ + 1 2%。考虑结构分别受到 El‑Centro 波、Northridge 波
ï
ï
ï ïG k，j = G k - 1，j - 1，2 ≤ j ≤ k - λ ≤ n - λ
î
和天津波三条地震波的作用，峰值加速度均调幅为
将式（16）代入式（6），可以得到仅用外部激励向 2 m/s ，持时均取 T = 10 s，分别如图 2~4所示。
2
量表达的结构状态向量为：
V k = A k，1 F 1 + A k，2 F 2 + ⋯ + A k，k F k =
A k F [ k ] ，1 ≤ k ≤ n （18）
式中， F [ k ] =[ F 1 F 2 ⋯ F k ] ； A k=[ A k，1A k，2⋯A k，k ]，
T
T
T
T
其中 A k，j (1 ≤ j ≤ k ) 为对应于 V k 的系数矩阵，可以
表示为：
ì A k，1 = A k，1，1 ≤ k ≤ λ
F
ï ï
ï
ï
k
ï ï
F
U
í A k，1 = A k，1 + ∑ A k，j G j，1 ，λ + 1 ≤ k ≤ n （19）
ï ï j = λ + 1
ï
ï
ï ï A k，j = A k - 1，j - 1，2 ≤ j ≤ k ≤ n
î
类似于式（7）和（8），由式（17）和（19）可见，仅系数 图 1 含主动控制装置的三层剪切型结构
矩阵 G k，1 ( λ + 1 ≤ k ≤ n )和 A k，1 (1 ≤ k ≤ n )需要计算 Fig. 1 A three‑storey shear‑type structure with active
和储存，其余系数矩阵均可由 G k，1 ( λ + 1 ≤ k ≤ n )和 controller
A k，1 (1 ≤ k ≤ n )直接确定。
如前所述，由于式（15）中的增益矩阵与外部激
励无关，因此式（19）所示的系数矩阵也与外部激励
无关，即式（18）既适用于确定性激励也适用于随机
激励下时滞系统的动力响应分析。当外部激励向量
F ( t )为零均值非平稳随机过程向量时，利用统计矩
运算规则由式（18）可以直接得到结构状态向量 V k
的协方差矩阵为 ［26］ ：
T
Cov(V k，V k )= A k Cov( F [ k ] ，F [ k ] ) A k ，1 ≤ k ≤ n （20） 图 2 El‑Centro 地震波
式中， Cov( F [ k ] ，F [ k ] ) 为 F [ k ] 的协方差矩阵，它可以 Fig. 2 El‑Centro earthquake wave
表示为：
采用本文提出的时滞显式最优控制（time‑delay
T
Cov( F [ k ] ，F [ k ] )= E( F [ k ] F [ k ] )= explicit optimal control， TD‑EOC）方法进行结构最
ê ê R F ( t 1，t 2 ) ⋯ R F ( t 1，t k ú ú ù ) 优控制律设计。在式（9）所示性能指标中，控制响应
éR F ( t 1，t 1 )
ê ê ú ú
ê ê R F ( t 2，t 1 ) R F ( t 2，t 2 ) ⋯ R F ( t 2，t k ) ú 向量 v ( t )考虑为结构状态向量 V ( t )，最大控制步数
ê ê ú，
ú
ê ê ⋮ ⋮ ⋮ ú 取为 q = 20，权矩阵取为：
ê ê ú ú
ë R F ( t k，t 1 ) R F ( t k，t 2 ) ⋯ R F ( t k，t k û ) Q = 100 êê éK 0 ù ú ú -θ
ê ê
1 ≤ k ≤ n （21） ë 0 M ú ú， R = 10 （22）
û