Page 181 - 《振动工程学报》2025年第8期

第 8 期 林晓祥，等： 一种考虑时滞的结构显式最优控制方法 1821

U U find U k = U ( t k )，
ï ï
ì A 1，1 = Q 2W U， A 2，1 =(TQ 2 + Q 1 )W U
ï ï
í A i，1 = TA i - 1，1，3 ≤ i ≤ n （8） min J k (U k )=
U
U
ï ï T
ï ï A i，j = A i - 1，j - 1，2 ≤ j ≤ i ≤ n é êæ k - λ F ö æ k - λ F ù ú ú ö
U
U
ê
î
ê
F U k + q êçç ∑ a i，j F j + ÷ ÷ ÷ ç ç ∑ a i，j F j + ÷ ú ú ÷ ÷
由式（7）和（8）可见，仅系数矩阵 A i，1 和 A i，1(1 ≤ 1 ê êç j = 1 ÷ Q ç ç j = 1
ç
∑ê êç k ÷ ç k ÷ ú ú ÷ Δt +
F
i ≤ n )需要计算和储存，其余系数矩阵均可由 A i，1 和 2 i = k êç ∑ a i，jU j ÷ ÷ ÷ ç ç ç ∑ a i，jU j ÷ ÷ ÷ ú ú ú ú
êçç
U
U
U
A i，1 (1 ≤ i ≤ n )直接确定。 ê ê ë è j = λ + 1 ø è j = λ + 1 ø û
应当指出，由于存在时滞 t D = λΔt，时刻 t 1 至 t λ 1
U k RU k，λ + 1 ≤ k ≤ n （12）
T
内主动控制装置的控制力仍未作用至结构上，因此 2
式（6）中存在 U 1 = U 2 = ⋯ = U λ = 0，此时式（6）可 令 ∂J k ∂U k = 0 ( λ + 1 ≤ k ≤ n )，可 以 推 导 得 到
以理解为时滞系统动力响应的时域显式表达式。 时滞最优控制力向量为（推导过程见附录）：
F
ìG λ + 1，1 F 1，k = λ + 1
ï ï
ï ï
2 时滞显式最优控制律的设计 U k = í k - λ G k，j F j + k - 1 G k，jU j，λ + 2 ≤ k ≤ n （13）
F
U
ï ï∑
∑
î j = λ + 1
ï ï j = 1
F
U
本节将基于式（6）所示的动力响应显式表达式， 式中， G k，j 和 G k，j 为时滞最优控制律的增益矩阵，可
以表示为：
开展时滞最优控制律的设计。由于存在时滞 t D =
ì F ) -1
λΔt，时刻 t k (1 ≤ k ≤ λ ) 的最优控制力无法考虑，仅 ï ï G k，j =-( φ k，k + R ψ k，j，1 ≤ j ≤ k - λ ≤ n - λ
ï
ï
需 考 虑 时 刻 t k ( λ + 1 ≤ k ≤ n ) 的 最 优 控 制 力 。 此 ï U ) -1 φ k，j，λ + 1 ≤ j < k ≤ n
ïG k，j =-( φ k，k + R
ï
ï ï
外，通常没有必要针对整个结构状态向量 V ( t )实施 ï k + q
í U T F
控 制 ，仅 需 要 针 对 部 分 关 键 响 应 向 量 v ( t ) 实 施 控 ï ï ψ k，j = ∑( ) Q( ) Δt，1 ≤ j ≤ k - λ ≤ n - λ
a i，k
a i，j
ï ï
i = k
制。因此，针对时刻 t k ( λ + 1 ≤ k ≤ n )，定义如下考 ï ï k + q T
U
U
虑时滞的时变线性二次型性能指标： ï ïφ k，j = ∑( ) Q( ) Δt，λ + 1 ≤ j ≤ k ≤ n
a i，k
a i，j
ï ï
î
k + q i = k
1 1
T
T
J k (U k )= ∑ v i Qv i Δt + U k RU k ，λ + 1 ≤ k ≤ n （14）
2 i = k 2 为了便于分析以及实际应用，最大控制步数 q
（9）
通常取为定值 ［22］ 。进一步，利用式（7）和（8）所示系
式中， U k 为时刻 t k 的时滞控制力向量； J k (U k )为时刻 F U
数矩阵 A i，j 和 A i，j 的递推关系，以及式（11）所示关于
t k 的性能指标； Q 和 R 分别为给定的对称半正定和 a i，j 和 a i，j 的 变 换 关 系 ，式（14）中 的 增 益 矩 阵 G k，j 和
U
F
F
对称正定的权矩阵； q 为响应最大控制步数，表示时 G k，j 也可以用递推公式表示为：
U
滞控制力向量 U k 的优化仅考虑时刻 t k 及后续 q 步响 ì F ) -1 ψ k，1，λ + 1 ≤ k ≤ n
ï G k，1 =-( φ λ + 1，λ + 1 + R
ï
ï
应 的 控 制 效 果 ； v i = v ( t i ) ( k ≤ i ≤ k + q ) 为 时 刻 t k ï G k，j = G k - 1，j - 1，2 ≤ j ≤ k - λ ≤ n - λ
F
F
ï
ï
及后续 q 步的控制响应。 ï U ) -1 φ k，λ + 1，λ + 2 ≤ k ≤ n
ï
ï
为了考虑时滞的影响，时刻 t k 的时滞控制力向 ïG k，λ + 1 =-( φ λ + 1，λ + 1 + R
ï
ï
U
U
量 U k 需要提前在时刻 t k - λ 优化确定，此时仅能获得 í G k，j = G k - 1，j - 1，λ + 2 ≤ j < k ≤ n
ï k + q
ï
外 部 激 励 向 量 F j (1 ≤ j ≤ k - λ ) 的 测 量 结 果 。 此 ï ψ k，1 = ∑( ) Q( ) Δt，λ + 1 ≤ k ≤ n
T
U
F
ï
a i，k
ï
a i，1
ï
外，如前所述，由于时滞的影响， U j = 0(1 ≤ j ≤ λ )， ï i = k
ï k + q
ï
)
T
U
U
仅需考虑 U j ( λ + 1 ≤ j ≤ k )的影响。因此，式（9）中 ï ∑( ) Q( a i，λ + 1 Δt，λ + 1 ≤ k ≤ n
ï φ k，λ + 1 =
a i，k
ï
的控制响应可根据式（6）显式地表示为： î i = k
（15）
k - λ k
F
U
v i = ϕV i = ∑ a i，j F j + ∑ a i，jU j； 式（13）代表了一种时滞显式最优控制律。显
j = 1 j = λ + 1
然，当 λ = 0 即不存在控制力时滞问题时，式（13）所
λ + 1 ≤ k ≤ n，k ≤ i ≤ k + q （10）
反映的控制律与文献［22］所得到的无时滞显式最优
U
F
其中，系数矩阵 a i，j 和 a i，j 可采用下式进行计算：
控制律是完全一致的。此外，由于式（15）中的增益
F
ìa i，j = ϕA i，j；k ≤ i ≤ k + q，1 ≤ j ≤ k - λ 矩阵 G k，1 和 G k，λ + 1 与外部激励无关，因此它们可以提
F
F
U
í U U （11）
î a i，j = ϕA i，j；k ≤ i ≤ k + q，λ + 1 ≤ j ≤ k 前离线计算和储存。
式中， ϕ 为反映关键响应向量 v ( t )和状态向量 V ( t )
之间关系的转换矩阵。 3 受控结构的响应分析
将式（10）代入式（9），可以得到考虑时滞的线性
二次型最优控制问题的无约束优化模型如下： 从 式（13）中 可 以 看 出 ，时 刻 t k ( λ + 1 ≤ k ≤ n )