Page 50 - 《武汉大学学报（信息科学版）》2025年第10期

第 50 卷第 10 期 余 航等：接受域类型差异对多重备选假设数据探测法的影响分析 1985

2 ˉ 2 表 1 H 3 下各方法的检验决策概率及 MDB 结果
式 中 ，∂ P ( t ˉ ∈ P i| H i ) ∂β i，1 即 为 文 献［4］中 的 式
Table 1 Results of Testing Decision Probabilities and
（56）。由于式（29）自身的复杂性，无法直接分析
MDB by Each Method of Hypothesis H 3
2 在 β i，1 =(1 2) β i 处 的 极 值 情 况 。 故 在 §6 部
δP CI i
接受域 P WI 1 /P WI 2
分，将结合具体算例进行数值分析。若式（29）所 方法 P CD 3 /% P MD 3 /% P CI 3 /% ∇ 3,MDB
类型 /%
示的二阶导小于 0，则存在唯一的极大值点，此时 圆形 80.00 20.00 76.29 1.85/1.87 1.443
方法一
2 |取到最大值。需要注意的是，若条 六边形 80.00 20.00 76.62 1.69/1.69 1.440
δP CI i 或| δP CI i
2 圆形 80.00 20.00 76.31 1.86/1.83 1.443
件（1）、（2）同时成立，不难发现此时 β i，1 仅是 δP CI i 方法二
六边形 80.00 20.00 76.66 1.69/1.66 1.440
的拐点。
圆形 80.00 20.00 76.30 1.84/1.86 1.443
方法三
六边形 80.00 20.00 76.65 1.67/1.68 1.440
6 算例与分析
6.1 直接平差算例
对 于 直 接 平 差 问 题 E ( y )= Ax，A =
T
[ 1 1 1 ] 、 x = 1 且 Σ y = 0.1 × I 3 × 3，分别采用§3.3
中的 3 种方法计算检验决策概率。本文所有算例
均 设 定 蒙 特 卡 洛 模 拟 次 数 为 1×10 ，检 验 参 数
6
α = 0.01、 γ = 0.2。各方法计算的检验决策概率
及 MDB 结果见表 1，闭合差 t ˉ ∈ R 的检验空间划
2
分如图 2 所示。由于该直接平差问题本质是对参
图 4 直接平差中闭合差 t ˉ 空间的不同接受域和拒绝域
数 x 进行等精度 3 次观测，其检验空间具有对称 Fig. 4 Acceptance and Critical Regions for Misclosure
性，故各备选假设 H 1、 H 2 和 H 3 下取得的结论一 Space of t ˉ in Canonical Model
致，后续分析仅以 H 3 为例给出相应结果。
当接受域类型相同时，表 1 中 3 种方法得到 响 ，图 5 给 出 了 β 3，1 =(1 2) β 3 处 ，式（20）中 δP CI 3
2
2
2
的正确识别率与错误识别率大体相同（因蒙特卡 和式（29）中 ∂ ( δP CI 3 ) ∂β 3，1 在模拟不同积分域边
洛采样的随机性导致存在较小差异，约 0.01%）， （i = 1，2，3）
界夹角 β 3 时的结果。该算例中，各 c ˉ t i
各方法得到的结果等价。因此，后续实验仅列出 恰与积分区域夹角 β 3 = 60° 的角平分线平行，故
基于方法三的计算结果。图 4（a）给出了变换后 2 的极值情况。在
图 5 中红色曲线直接反映了 δP CI 3
ˉ
闭合差 t ˉ 的两类接受域 P 0 （黑色圆形轮廓及内部
β 3 = 60° 处，红色曲线小于 0，根据式（27）及图 5，
ˉ
空间）和 P ′ 0 （红色六边形轮廓及内部空间）。从图
≠ 0 且 条 件（2）成 立 ，故 β i，1 =(1 2) β i
此 时 δP CI i
ˉ
4（a）的绿色及紫色部分可看出，属于 P 0 的紫色子
是 定 义 域 β i，1 ∈ ( 0，π 2 ] 内 唯 一 的 极 大 值 点 ，因
ˉ
ˉ
空间并不包含于 P ′ 0，而属于 P ′ 0 的绿色子空间亦不
2 |取到最大值。此时，圆形和六边
ˉ ˉ 此， δP CI 3 或| δP CI 3
包含于 P 0。类似情况也可见拒绝域中子空间 P 3
ˉ
和 P ′ 3 （图 4（b））。t ˉ 落入不同的接受域或拒绝域的 形 接 受 域 得 到 的 正 确 识 别 率 差 异 | δP CI 3 | 为
子空间，会得到不相同的粗差探测与识别结果。 0.35%。该结果也与表 1 中根据 P CI 3 列相应数据
因此，接受域类型的不同会导致正确、错误识别 计算的结果一致。通过上述分析可知，该算例中
率及粗差探测与识别结果的不同。 不同接受域得到的正确识别率的差异有界。
表 1 给出了 H 3 条件下不同接受域类型得到 从图 5 可知，模拟不同 β 3 取值下，不同接受域
的 MDB，以及以该 MDB 得到的检验决策概率。 得到的 δP CI 3 不同。当 β 3 = 30.2° 时，若 c ˉ t 3 恰位于
由表 1 中最后一列可知，接受域类型的不同会影 β 3 的角平分线，以圆形和六边形接受域得到的正
响 MDB 的计算结果，从数值实验的角度验证了 |= 1.34%，该结果为其可达
确识别率差异| δP CI 3
式（18）与式（19）的区别。该算例中，以超多面体
到 的 理 论 最 大 值（因 在 区 间 β 3∈（0°，60.5°） ∪
为接受域（该算例中为六边形）计算得到的 MDB
2
2 2 ) ∂β 3，1 < 0）。 而 在 区 间 β 3∈
相较于以超椭球体接受域（圆形）得到的 MDB 结 （67.4°， 90°］，∂ ( δP CI 3
2
2 2 ) ∂β 3，1 > 0，两 者 正 确 识 别
果要小。 （60.5°，67.4° )，∂ ( δP CI 3
为分析接受域类型差异对正确识别率的影 率 的 差 异 达 到 极 小 值 0.21%。 而 当 β 3 = 60.5°、