Page 49 - 《武汉大学学报（信息科学版）》2025年第10期

1984 武 汉 大 学 学 报 （信 息 科 学 版） 2025 年 10 月

-1 大值点，故当 β i，1 =(1 2) β i 时，超多面体接受域
K 1= ×
1 + cos2( β i - β i，1 ) 得到的正确识别率 P ( t ˉ ∈ P ′ i| H i) 取到最大值。
ˉ
-u 2
exp( ) )+
1 + cos 2( β i - β i，1
1 -u 2
exp ( )
1 + cos ( 2β i，1 ) 1 + cos ( 2β i，1 )
考虑到 K 是关于变量 u 的递增函数，且 0 <
β i，1 ≤ β i ≤ π 2，故 β i，1 =(1 2) β i 是式（25）的唯一
解 。 为 判 断 该 点 处 函 数 的 极 值 情 况 ，在 β i，1 =
ˉ
(1 2) β i 处对 P ( t ˉ ∈ P ′ i| H i) 中的 β i，1 求二阶导可得：
| | |
∂ P ( t ˉ ∈ P ′ i| H i | +∞
ˉ
2
) |
| | = ∫ ( KK 2 ) du -
2 | 1
| β i,1 = β i c α 1
∂β i,1
| 2
2 ˉ 2
-c α 1 图 3 ∂ P ( t ˉ ∈ P ′ i| H i) /∂β i,1 随 ||μ t ˉ i ||、 β i 与 c α 1 的变化关系
∫ ( KK 2 ) du （26）
ˉ
2
2
-∞ Fig. 3 Results of ∂ P ( t ˉ ∈ P ′ i| H i) /∂β i,1 with Varying
4sinβ i
式 中 ，记 K 2=（1 + cos β i -u ） 3 × ||μ t ˉ i ||, β i and c α 1
2
( 1 + cos β i )
结合文献［4］与式（24）~（26）的结论，可进一
-u 2
exp ( )。 步分析不同接受域类型下正确识别率差异| δP CI i |
1 + cos β i
间 的 关 系 。 事 实 上 ，总 希 望 找 到 该 差 异
因 0 < β i，1 ≤ β i ≤ π 2 且 exp{ } 恒 大 于 0，故 与 c ˉ t i
sin β i > 0、 1 < 1 + cos β i < 2。 但 因 1 +cos β i -u 2 | δP CI i |的最大值，控制其足够小，以降低接受域类
∈[0，1]
的取值密切 型差异对正确识别率的影响。考虑到 P CI i
、 β i 及 μ t ˉ i
项的存在，该值的正负与 c α 1
|的平方
+∞ 且为避免| δP CI i |不可导的情况，现以| δP CI i
相 关 ，故 当 u > 2 时 ，总 有 ∫ ( KK 2 ) du<0， 2 2
δP CI i 为分析对象，对 δP CI i 中 β i，1 求一阶导，并令该
c α 1
导数为 0 可得：
-c α 1
∫ ( KK 2 ) du > 0，此 时 式（26）恒 小 于 0。 但 当
-∞ 2 ) ( ˉ )
∂( δP CI i ∂P ( t ˉ ∈ P i| H i
u ∈( 0， 2 ]时（因 u为积分变量，其取值与积分上、 = 2 × δP CI i × -
∂β i,1 ∂β i,1
∂β i,1 )
> 0，故 u > 0 ），无法直接判断式
下限相关，由于 c α 1 ˉ )
（26）的正负。利用 Matlab 中 integral函数进行数值 ∂P ( t ˉ ∈ P ′ i| H i = 0 （27）
∈ ( 0， 2 ] 范
)
模拟，给出不同 β i 与 μ t ˉ i 取值下 c α 1
ˉ
式 中 ，根 据 文 献［4］，∂P ( t ˉ ∈ P i| H i ∂β i，1 的 表 达
围内式（26）的结果。图 3 显示，该结果恒小于 0。
因 此 ， β i，1 =(1 2) β i 是 β i，1 在 定 义 域 内 唯 一 的 极 式为：
ˉ )
∂P ( t ˉ ∈ P i| H i +∞ u 1
2
= ∫ exp [- ( u + ||μ t ˉ i || 2 ) ]×{ exp[( u||μ t ˉ i || cos β i,1 ] ) -
∂β i,1 2π 2
k α
|| cos ( β i - β i,1 ) } ] du （28）
) - exp [-u||μ t ˉ i
exp [ u||μ t ˉ i || cos ( β i - β i,1 ) ]+ exp(-u||μ t ˉ i || cos β i,1
若 式（27）成 立 ，存 在 如 下 3 个 条 件 ：（1） 处二阶导恒大于 0。因此，使得条件（1）成立时的
ˉ
ˉ
= 0；（2） ∂P （t ˉ ∈ P i| H i ）/∂β i，1=∂P （t ˉ ∈P ′ i | H i ）/ 2 的极小值点。若仅条件（2）成立，由
δP CI i β i，1 只是 δP CI i
∂β i，1；（3）条件（1）、（2）同时成立。假设仅条件（1） 式（25）和式（28）可知， β i，1 =(1 2) β i 是其定义域
成立，则可找到 β i，1 ∈ ( 0，π 2 ] 定义域内的点，并 范 围 内 的 唯 一 解 。 进 一 步 对 δP CI i 在 β i，1 =
2
2 对 β i，1 的二阶导，不难得知，该点 (1 2) β i 处求二阶导，可得：
在该点处求 δP CI i
2 | | | æ | | | | | | ö
) |
ˉ
ˉ
) |
) |
∂ ( δP CI i | ç ç ∂ P ( t ˉ ∈ P i| H i | ∂ P ( t ˉ ∈ P ′ i| H i | ÷ ÷
2
2
2
| × ç | - | ÷ （29）
2 | | 1 = 2 × δP CI i ç ç ç 2 | | 1 2 | | 1 ÷ ÷ ÷
∂β i,1 | β i,1 = β i ∂β i,1 | β i,1 = β i ∂β i,1 | β i,1 = β i
| 2 è | 2 | 2 ø