Page 47 - 《武汉大学学报（信息科学版）》2025年第10期

1982 武 汉 大 学 学 报 （信 息 科 学 版） 2025 年 10 月

ì ) 3.3 接受域类型差异对检验决策概率计算的影响
) ∫
ïP CA = P ( w ∈ M 0| H 0 = M 0 f w( τ| H 0 dτ 式（16）、式（17）中高维正态分布的积分问题
ï
ï
ï
ï
ï
)
)
ï
ï P FA = P ( w ∉ M 0| H 0 = ∫ f w( τ| H 0 dτ 可 通 过 蒙 特 卡 洛 方 法 实 现 。 但 概 率 密 度 函 数
ï
ï m f w( τ| H 0)、f w( τ| H i) 中 协 方 差 矩 阵 Σ w 秩 亏 ，而
ï
ï R \M 0
ï
ï ) ) f t ˉ( τ| H 0) 和 f t ˉ( τ| H i) 中 t ˉ 的协方差矩阵为单位阵，
ˉ
ˉ
ï = P ( w ∉ M 0| H i = ∫ f w( τ| H i dτ
ï
ïP CD i
ï
m
í R \M 0 因此，采用蒙特卡洛数值模拟方法计算式（16）、
ï )
) ∫
ï P MD i = P ( w ∈ M 0| H i = f w( τ| H i dτ 式（17）的方法不同。可归纳为如下 3 种：
ï
ï M 0 ［3］
ï
ï 1）方法一，在观测值域进行蒙特卡洛采样 。
ï
)
ï = P ( w ∈ M i| H i = f w( τ| H i dτ 设定整体显著性水平和检验功效，确定备选假设
) ∫
ï
ï P CI i
ï
ï M i H i 的最小可探测偏差 ∇ i，MDB，根据标准正态分布
ï
ï m ) )
ï
∫
ï P WI i = P ( w ∈ ∪ j ≠ 0,i M j| H i = ∪ j = 1, ≠ i M j f w( τ| H i dτ N (0 m × 1，I m × m) 随机生成 m × 1 维向量 s，对 Σ y 进
ï
ï
m
î
T
（16） 行 Cholesky 分 解 Σ y = GG ，得 到 观 测 向 量 采 样
值 y ˉ = y - e ̂ + c i ∇ i，MDB + Gs，进而对 y ˉ 进行粗差
0
式 中 ，f w( τ| H 0)、f w( τ| H i) 分 别 是 均 值 为 0 m × 1 和 探测与识别。重复上述步骤 N 次，根据式（5）或
μ i = δ i [ ρ 1i ρ 2i ⋯ ρ mi ] 、协 方 差 阵 同 为 Σ w 的 正 态 式（6）统计各类检验结果发生的次数，计算检验
T
分布概率密度函数。根据式（3）、式（4）， Σ w 的对 决策概率。
角线元素为 1，非对角线元素由 ρ ij 构成； Σ w 也可 2）方 法 二 ，直 接 获 取 检 验 统 计 量 w 的 采 样
根据 Σ w = RΣ y R 直接确定。若以超多面体构建 值 ［14，20］ 。由于矩阵 Σ w 秩亏，可采用广义 Cholesky
T
接受域，计算检验决策概率也即为概率密度函数 分解技术，实现对秩亏矩阵 Σ w 的分解 ［20］ ；进而根
f w( τ| H 0) 和 f w( τ| H i) 在 相 应 子 空 间 M ′ 0 和 M ′ i 上 据不同概率密度函数 f w( τ| H 0)、f w( τ| H i) 的分布
的积分。 特 点 ，分 别 对 高 维 正 态 分 布 N (0 m × 1，Σ w) 或
3.2 闭合差型 Baarda w-统计量的检验决策概率 N ( μ i，Σ w) 进行 N 次采样，再计算检验决策概率。
闭合差型统计量的决策概率为 t ˉ 的高维正态 3）方法三，直接获取转换后闭合差向量 t ˉ 的
分布概率密度函数在式（15）所示子空间上的积 采样值 ［2，4］ 。由于向量 t ˉ 的协方差矩阵为单位阵，
分如下： 即 Σ t ˉ = I r × r，直 接 对 高 维 正 态 分 布 N (0 r × 1，I r × r)
ì ˉ ˉ ) ，I r × r) 进 行 N 次 蒙 特 卡 洛 采 样 ，根 据 式
ïP CA = P ( t ˉ ∈ P 0| H 0 = f t ˉ( τ| H 0 dτ
ï ) ∫ 和 N ( μ t ˉ i
ï
ï P ˉ 0 （10）或式（11）统计各类检验结果发生的次数，计
ï
ï
ï
)
ˉ
ˉ
) ∫
ï P FA = P ( t ˉ ∉ P 0| H 0 = f t ˉ( τ| H 0 dτ 算检验决策概率。
ï
ï R \P ˉ
ï
r
ï 0 对比上述 3 种方法可知，采用方法一避免了
ï
)
ï ˉ f t ˉ( τ| H i dτ 对秩亏矩阵 Σ w 进行广义 Cholesky 分解，但需要
ˉ
) ∫
ï = P ( t ˉ ∉ P 0| H i = r
ï
ï P CD i
ï
í R \P ˉ 0 一组无观测粗差且经过最小二乘平差改正后的
)
ï = P ( t ˉ ∈ P 0| H i = f t ˉ( τ| H i dτ 观测向量 y - e ̂ 作为基准观测向量，该方法适用
) ∫
ˉ
ˉ
ï ï P MD i 0
ï ï P ˉ 0 于理论验证分析；采用方法二则需引入针对秩亏
ï ï
)
) ∫
ˉ
= P ( t ˉ ∈ P i| H i = f t ˉ( τ| H i dτ 矩阵分解的广义 Cholesky 分解技术；采用方法三
ˉ
ï ï P CI i
ï ï
ï ï P ˉ i 需要对统计量进行转换，得到基于闭合差的表达
)
ï ï m ˉ ) f t ˉ( τ| H i dτ
ˉ
ï ï P WI i = P ( t ˉ ∈ ∪ j ≠ 0,i P j| H i = ∫ 式，但无需任何矩阵分解技术。
ï ∪ j = 1, ≠ i P ˉ j
î
m
（17） 4 接受域类型差异对最小可探测偏
ˉ
ˉ
式 中 ，f t ˉ( τ| H 0) 和 f t ˉ( τ| H i) 分 别 是 均 值 为 0 r × 1 和 差的影响
∇ i、协方差阵均为 r 维单位阵的正态分布
μ t ˉ i = c ˉ t i
根据接受域的不同，MDB 的计算结果也将
概率密度函数。类似地，若以超多面体构建接受
不同。若以 t ˉ 构建超椭球体接受域，在 H i 下，其错
域 ，计 算 检 验 决 策 概 率 也 即 为 概 率 密 度 函 数 误 探 测 率 为 P ( t ˉ ∉ P 0| H i) = P   > k α| H i)
ˉ
ˉ
ˉ
ˉ
f t ˉ( τ| H 0) 和 f t ˉ( τ| H i) 在 对 应 子 空 间 P ′ 0 和 P ′ i 上 的 ˉ ( t ˉ 2 。
2
积分。 由 于  服 从 自 由 度 为 r 的 非 中 心 化 卡 方 分 布
t ˉ