Page 46 - 《武汉大学学报（信息科学版）》2025年第10期

第 50 卷第 10 期 余 航等：接受域类型差异对多重备选假设数据探测法的影响分析 1981

2
  = w  2 （13） 由于 Σ y 为对角阵且各分量精度相同， w 的检
e ̂
0
Σ y Q
验空间实则是以 e 0 的正交基 [ e 1 e 2 e 3 ]张成的三维
式 中 ，记 Q = Λ 1/2 Σ y Λ 。 可 见 ，残 差 表 示 的 超
1/2
-1
空间中的一个二维平面子空间。此时，超椭球和
2
椭 球 体 接 受 域  ≤ k α 可 由 w 等 价 地 表 示 为
e ̂
0
超多面体接受域分别“退化”为圆形和正六边形。
Σ y
2
 w  ≤ k α。
Q 2.2 闭合差型 Baarda w-统计量的检验空间划分
r
根据式（5），残差型 w-统计量的检验空间可 根据式（10），基于变换后闭合差 t ˉ ∈ R 划分
统一划分为如下 m + 1 个子空间： 的各子空间 P 0 和 P i 可表示为：
ˉ
ˉ
ì m   ≤ k α } ì ˉ r   ≤ k α }
2
ï ï M 0 = { w ∈ R | w
2
ï ï P 0 = { t ˉ ∈ R | t ˉ
ï
Q
ï
ï ï
|
m
ï ï
í M i = { w ∈ R \M 0|| w i = （14） ï ï ˉ r ˉ t ˉ
ï ï í P i = { t ˉ ∈ R \P 0| P c ˉ t i = （15）
ï j ∈{1,2,⋯,m } | ï ï t ˉ  },i = 1,2,⋯,m
ï max | w j },i = 1,2,⋯,m
ï ï
ï ï
î
î
}
j ∈{1,2,⋯,m
因此，粗差探测与识别过程亦可描述为：当 ï ï max  P c ˉ t j
若以超多面体构建接受域，则 P′ 0 = ｛t ˉ ∈ R
r
ˉ
w ∈ M 0 时，接受 H 0；而当 w ∈ M i （∀i ≠ 0）时，接受
m m t ˉ ˉ r ˉ t ˉ  =
H i；各 子 空 间 满 足 M 0 ∩ M i = ∅、∪ i = 0M i= R 。 | P c ˉ t i  ≤ c α 1 ， ∀i ｝， P ′ i =｛t ˉ ∈ R \ P′ 0 | P c ˉ t i
m
若 构 建 超 多 面 体 接 受 域 ，则 M 0=｛w∈R
t ˉ  ｝。图 2 给出了前述直接平差问题
max  P c ˉ t j
| m | j ∈{1，2，⋯，m }
|| w i ≤ c α 1 ，∀i ｝ ， M ′ i = ｛w∈R \M ′ 0 || w i = 中闭合差向量 t ˉ ∈ R 的检验空间划分。
2
|
m
m
max | w j ｝，且有 M ′ 0∩M ′ i=∅，∪ i = 0M ′ i= R 。实
j ∈{1，2，⋯，m }
际 上 ，粗 差 识 别 的 过 程 也 即 在 接 受 域 w ∉ M 0
m
m
（w ∉ M ′ 0 ）外，在拒绝域 R \M 0 （R \M ′ 0 ）中寻求统
计量 w 所属的子空间。
统计量 w 可表达为 y 的真误差 e 0 的函数。由
⊥ ［16］ ，可
0
式（12）并顾及残差 e ̂ 与 e 0 的关系 e ̂ = P A e 0
0
得 w = Re 0，其中 R = Λ 1/2 Σ y P A 。均值漂移模型
-1
⊥
认为随机模型能够准确反映观测量的统计性质，
。考虑
观测量的方差即为真误差的方差 Σ y = Σ e 0
到 矩 阵 R 秩 亏（rank ( R ∈ R m × m )= rank ( P A )= 图 2 直接平差中闭合差向量 t ˉ 的空间划分
⊥
r < m），因此，残差型 w-统计量的检验空间实则 Fig. 2 Partitioning of Misclosure Space of t ˉ in
m
是对 e 0 张成的 R 空间进行投影，得到 m 维空间下 Canonical Model
的一个 r 维子空间。以直接平差为例，令系数矩
T
阵 A =[ 1 1 1 ] 、参数 x = 1、 Σ y = 0.1 × I 3 × 3，其 3 接受域类型差异对检验决策概率
残差型 w-统计量的检验空间划分如图 1 所示。
的影响
3.1 残差型 Baarda w-统计量的检验决策概率 [3]
计算残差型 w-统计量的检验决策概率，实质
是计算满足高维正态分布统计量 w 的概率密度
函数在式（5）或式（6）所示子空间上的积分。因
此，检验决策概率，如正确接受率（correct accep‑
tance，CA） P CA、虚警率（false alarm，FA） P FA、正确
、错 误 探 测 率
探 测 率（correct detection，CD） P CD i
、正确识别率（correct
（missed detection，MD） P MD i
图 1 直接平差中残差型 w‑统计量的空间划分
与错误识别率（wrong identi‑
identification，CI） P CI i
Fig. 1 Partitioning of Testing Space of w in
Canonical Model fication，WI） P WI i 表示为：