Page 48 - 《武汉大学学报（信息科学版）》2025年第10期

第 50 卷第 10 期 余 航等：接受域类型差异对多重备选假设数据探测法的影响分析 1983

2
2 2 2  ，因此，在单个粗差假设 已证明，当 β i，1 =(1 2) β i 时，基于超椭球体接受
χ α( r，λ i)，其中 λ i = μ t ˉ i
ˉ
下，以超椭球体接受域得到的 MDB 为： 域得到的正确识别率 P ( t ˉ ∈ P i| H i) 取到最大值。
| ∇ i,MDB |= λ i ( k α,γ,r )   （18） 因此，首先验证这一结论同样适用于以超多面体
c ˉ t i
ˉ
式中， γ 为错误探测率阈值； λ i ( k α，γ，r ) 表示 λ i 由 接 受 域 得 到 的 正 确 识 别 率 P ( t ˉ ∈ P ′ i| H i)，再 对
k α、 γ、 r 确定。 ˉ 的夹
| δP CI i |进行分析。进一步地，令 β i 表示 t ˉ 至 c ˉ t i
若建立超多面体接受域， H i 下的错误探测率 角（逆时针方向为正），l 表示 t ˉ 的模长。在 r = 2
ˉ
( ，∀i| H i)
ˉ t ˉ > c α 1 。 由 式 条件下， t ˉ 的概率密度函数 f t ˉ( τ| H i) 可由 [ l β i ] 的
ˉ ˉ
ˉ
T
为 P ( t ˉ ∉ P ′ 0| H i) = P  P c ˉ t i
［4］
t ˉ =| w i |，且由于 w i 服从非中心化参 联合概率密度 f ˉ ˉ( l，β| H i) 表示为 ：
l，β i
（8）可知 P c ˉ t i
1
数为 δ i 的正态分布 N (δ i，1)。因此，在单个粗差 ˉ l { (
2
f t ˉ( τ| H i) = f ˉ ˉ( l,β| H i) = exp - l +
l,β i 2π 2
假设下，以超多面体接受域得到的 MDB 为：
,γ,r )   （19） 2 )}
| ∇ i,MDB |= δ i ( c α 1 c ˉ t i cos β （21）
 μ t ˉ i  - 2l μ t ˉ i
、 γ、 r
ˉ
式中， δ i ( c α 1 ，γ，r ) 表示非中心化参数 δ i 由 c α 1
=| ∇ i | 。 则 P ( t ˉ ∈ P ′ i| H i) 可 表
式 中 ，  μ t ˉ i c ˉ t i
确定。
示为：
由于 λ i、 δ i 不仅与 α 和检验功效 1 - γ 相关，
)
+∞
有关；不同接受域确定的 ˉ ∫ ∫ f ˉ ˉ( l,β| H i dldβ （22）
还与其对应临界值 k α、 c α 1 P ( t ˉ ∈ P ′ i| H i) = l,β i
L i
c α 1
临界值不同，得到的 MDB 结果亦存在差异。需 | cos | β
要注意的是，实际计算中，若采用基于闭合差 t ˉ 确 式 中 ，L i=｛β i| β i∈[-β i，1，β i - β i，1 ］∪［π-β i，1，π
ˉ ˉ
定 MDB，通 常 直 接 采 用 蒙 特 卡 洛 方 法 ，通 过
+β i -β i，1 ］｝。
2
t ˉ t ˉ ， ∀i| H i ）=
 >c α 1
P （   >k α| H i ） = 1 - γ 和 P （  P c ˉ t i
若各 c ˉ t i 并非全都共线（否则各备选假设不可
1-γ 直接反算得到超椭球和超多面体接受域下的 区分，多重备选假设问题等价于单一备选假设），
最小可探测偏差。 β i，1 和 β i 满足 0 < β i，1 ≤ β i ≤ π 2。式（22）等价于：
β i - β i,1 +∞ )
) ∫
ˉ
5 接受域类型差异对正确识别率的 P ( t ˉ ∈ P ′ i| H i = ∫ f ˉ ˉ( l,β| H i dldβ +
l,β i
-β i,1 c α 1
影响 cos β
)
π + β i - β i,1 +∞
∫ ∫ f ˉ ˉ( l,β| H i dldβ （23）
l,β i
是多重备选假 π - β i,1 -c α 1
备选模型 H i 的正确识别率 P CI i cos β
设数据探测法中粗差识别的重要指标，也是确定 将 式（21）代 入 式（23），通 过 u = l cos β 进 行
2
最小可识别偏差的基础。定义超椭球和超多面 换元，并顾及 2 cos β = 1 + cos 2β，则：
体 接 受 域 得 到 的 正 确 识 别 率 差 异 为 两 者 差 值 +∞ β i - β i,1
ˉ
P ( t ˉ ∈ P ′ i| H i) = ∫ K ∫ K 0 dβdu -
是两个 r 维正态分布 c α 1 -β i,1
δP CI i 的绝对值| δP CI i |。δP CI i
π + β i - β i,1
-c α 1
之差： ∫ K ∫ K 0 dβdu （24）
-∞ π - β i,1
ˉ
ˉ
= P ( t ˉ ∈ P i| H i) - P ( t ˉ ∈ P ′ i| H i) （20）
δP CI i u 1 2
ˉ ˉ 式 中 ，记 K = exp｛ - （  μ t ˉ i  - 2u μ t ˉ i  ) ｝；
根据式（17），其大小不仅取决于被积区域 P i 与 P ′ i π 2
ˉ
的差异，还取决于 f t ˉ( τ| H i) 在差异区域上的分布 1 -u 2
K 0 = exp ｛ }。
1 + cos ( 2β ) 1 + cos ( 2β )
ˉ ∇ i，上述差异实
情况。顾及 f t ˉ( τ| H i) 中的 μ t ˉ i = c ˉ t i
根 据 含 参 变 量 积 分 求 导 法 ，将 式（24）对 β i，1
相对于积分区域的
则与平差模型（反映在向量 c ˉ t i
求一阶导，并令导数为 0，可得：
空间位置关系）密切相关。
ˉ )
∂P ( t ˉ ∈ P ′ i| H i +∞
以 r = 2 条件下的二维平面空间展开说明， = ∫ ( KK 1 ) du -
∂β i,1 c α 1
2
实则是 R 空间上的积分之差。如图 2
此时， δP CI i -c α 1
ˉ ˉ ∫ ( KK 1 ) du = 0 （25）
所示，令 β i 表示积分区域 P i （P ′ i ）边界的夹角， β i，1
-∞
与其所属积分区域右边界的夹角。文献［4］ 式中，令
表示 c ˉ t i