Page 45 - 《武汉大学学报（信息科学版）》2025年第10期

1980 武 汉 大 学 学 报 （信 息 科 学 版） 2025 年 10 月

T
T
粗差。在大地测量领域，形如式（2）的模型称为 t = B y = B e ̂ 0 （7）
r
均值漂移模型 ［24］ 。 式 中 ， t∈ R 即 为 闭 合 差 向 量 ，其 协 方 差 阵 Σ t =
残差型 Baarda w-检验统计量 w i 可构造为： B Σ y B；在 H 0 下 t∼ N (0 r × 1，Σ t)，而 在 H i 下 ，
T
-1
T
c i Σ y e ̂ 0 = B c i ∇ i。 矩 阵 B 可 由
T
T
w i = （3） t∼ N ( μ t i ，Σ t)，其 中 μ t i
T -1 -1 ［10］ m × r
T
⊥
T
Σ y c i B = S P A 确定 ， S ∈ R 为正交矩阵，可通过对
c i Σ y Σ e ̂ 0
-1 ⊥
0
式 中 ， e ̂ = Σ e ̂ 0 Σ y y 为 H 0 下 的 残 差 ； Σ e ̂ 0 = Σ y - Σ e ̂ 0 奇异值分解并选择其酉矩阵前 r 列得到， P A =
A( A Σ y A) -1 A 为 e ̂ 的协方差阵。 I m × m - A( A Σ y A ) -1 A Σ y = Σ y BΣ t B T ［25-26］ 。
T
-1
-1
T
-1
T
-1
T
0
-1/2 -1/2 t 表
进一步将 Σ t 左乘式（7），并令 t ˉ = Σ t
当第 i 个观测值含粗差时， w i ~N (δ i，1)， δ i =
⊥
示 变 换 后 的 闭 合 差 向 量 。 考 虑 e ̂ = P A y =
2
∇ i σ ̂ 为 非 中 心 化 参 数 ， σ ̂ ∇ i 为 粗 差 的 方 差 估 值 ， 0
∇ i
-1
-1 = Σ y BΣ t B Σ y，则 由 闭 合 差 型 构
T
-1
2 T -1 Σ y c i ) ；否则 w j ≠ i ~N (0，1)。 Σ y BΣ t t， Σ e ̂ 0
-1
∇ i
σ ̂ =( c i Σ y Σ e ̂ 0
建的检验量可表示为：
各统计量间的相关系数 ρ ij 可根据协方差传
ì  =  2
2
e ̂
t ˉ
ï ï
播律确定为： ï ï 0 Σ y
í （8）
T -1 -1 
Σ y c j ï ï | t ˉ
ρ ij = （4） î
c i Σ y Σ e ̂ 0
ï ï| w i = P c ˉ t i
T -1 -1 T -1 -1
Σ y c i Σ y c j -1/2 T T -1 T
c i Σ y Σ e ̂ 0 c j Σ y Σ e ̂ 0 表示到向
式中， c ˉ t i = Σ t B c i； P c ˉ t i = c ˉ t i ( c ˉ t i c ˉ t i ) c ˉ t i
数据探测法常建立如下两类接受域以探测
量 c ˉ t i 的正交投影矩阵。
2
粗差：（1）以  ≤ k α 为准则建立的超椭球体接 = Σ y BΣ t B Σ y 代入式（4），统计量间
e ̂
-1
T
0
Σ y 将 Σ e ̂ 0
受域，当先验单位权方差因子已知时，若观测值 相关系数 ρ ij 可等价地表示为 c ˉ t i 与 c ˉ t j 夹角的余弦：
2
无粗差，   服从自由度为 r = m - n、非中心参 ρ ij = cos ∠ ( c ˉ t i ,c ˉ t j ) （9）
e ̂
0
Σ y
因此，残差型 w-检验统计量可等价地由变换
2
2
数 为 0 的 卡 方 分 布 ， k α = χ α(r，0)，其 中 || || ∗ =
后的闭合向量 t ˉ 构建。根据粗差探测接受域的不
［13］
T
( ) ∗ -1 ( )， α 为整体显著性水平 ；（2）以| w i |≤ c α 1
同，原假设和备选假设模型与粗差探测、识别结
（i = 1，2，⋯，m）为准则建立的超多面体接受域，
其中 α 1 ≈ α/m ［13］ 可通过文献［16］中的 果的关系等价于：
，临界值 c α 1
ì t ˉ 2
ï ï
采样方法计算得到。若检验结果归属接受域，则 ï ï H 0:  ≤ k α
í 2 （10）
t ˉ
原假设模型 H 0 成立；否则，以| w i |中最大值对应 ï ï t ˉ = j ∈{1,2,⋯,m } t ˉ ,  > k α
î
max  P c ˉ t j
ï ï H i: P c ˉ t i
的备选模型 H i 作为粗差识别结果（不考虑检验未
或
定的情况）。
ì t ˉ ,i = 1,2,⋯,m
ï ï
若建立超椭球体接受域，原假设和备选假设 ï ï H 0: P c ˉ t i ≤ c α 1
í （11）
模型与粗差探测和识别结果的关系对应于： ï ï t ˉ = j ∈{1,2,⋯,m } t ˉ > c α 1
î
max  P c ˉ t j
ï ï H i: P c ˉ t i
ì 2
e ̂
ï ï H 0:  ≤ k α 相较于式（5）、式（6），以闭合差构建的粗差
ï ï
0
Σ y
í 2 （5） 探 测 与 识 别 过 程 可 等 价 地 由 式（10）或 式（11）
|
e ̂
ï ï H i:| w i = max | w j |,  > k α
ï ï j ∈{1,2,⋯,m } 0 Σ y 实现。
î
若 建 立 超 多 面 体 接 受 域 ，则 上 述 关 系 对
应于： 2 接受域类型差异对检验空间划分
| ,i = 1,2,⋯,m
ï ï ï ï 的影响
ì H 0:| w i ≤ c α 1
í | | （6）
ï ï ï ï H i:| w i = max | w j > c α 1
î j ∈{1,2,⋯,m }
2.1 残差型 Baarda w-统计量的检验空间划分
2
可见，由于变量  和| w i |构建的不同，探
e ̂
0
Σ y 式（5）、式（6）的粗差探测与识别准则实则表
m
测的接受域也不相同。 征 了 统 计 量 w 在 其 所 属 R 空 间 的 一 种 几 何 划
1.2 闭合差型 Baarda w-检验统计量 [2] 分 。 为 说 明 这 一 点 ，将 式（3）中 各 w i（i =
令矩阵 B 是 A 零空间的一组基， B ∈ R m × r ， 1，2，⋯，m）组成向量形式：
T
-1
且有 B A = 0 r × n。在 H 0 假设下，将式（1）中函数 w = Λ 1/2 Σ y e ̂ 0 （12）
T
模型写成误差方程形式，即 y = Ax ̂ + e ̂ ，再将 B T 式中，令 w =[ w 1 w 2 ⋯ w m ] ； Λ =diag（σ ̂ ， σ ̂ ，
1/2
T
0
0
∇ 2
∇ 1
左乘该误差方程，可得如下条件方程： ⋯ ， σ ̂ ），进而有：
∇ m