Page 101 - 《爆炸与冲击》2026年第8期

第 46 卷 李 志，等： 考虑参数不确定性的水下爆炸冲击波荷载Bayesian建模与表征 第 8 期

定性经验模型，θ 为 k (k , α ) 中对应的经验模型参数，x 为可观测的输入变量，其不确定性（如炸药质量、
d
d
爆距、炸药性质等的变异性）被视为随机性来源之一；Θ =(θ , σ ) 为概率模型未知参数；σ ε 为修正后概
k
k k k k
率模型的计算误差，从计算模型、输入参数及试验测试方面综合反映了模型的不确定性，其中 σ 为模型
k
标准差，ε 为服从标准 Normal 分布的随机变量。为适当简化后续分析，假设模型方差 σ 2 k 与输入变量
k
x 相互独立（即同方差性假设），即对于给定模型参数 Θ ，概率模型的方差为 Var[P(x,Θ )]= σ 2 k 。
k
k
基于观测数据集 y ，通过 Bayesian 定理更新参数后验分布：
k
L(y k |Θ k )π(Θ k )
π(Θ k |y k ) = r = c· L(y k |Θ k )π(Θ k ) (9)
L(y k |Θ k )π(Θ k )dΘ k
式中：π(Θ ) 为模型参数先验分布，反映了对总体参数分布的先验认识；y 为实际获取的证据样本向量，
k
k
y =(y k,1 , y k,2 , … , y k,n )； π(Θ |y ) 为 模 型 参 数 后 验 分 布 ， 反 映 了 在 获 取 证 据 样 本 信 息 后 对 先 验 的 更 新 ；
k
k
k
L(y |Θ ) 为似然函数，量化模型与数据一致性，L(y |Θ )=L(y , y ,…, y ,Θ )；c 为定积分常数，表示正则化
k k k k k,1 k,2 k,n k
因子。当证据样本信息来自 n 个独立试验集时，式 (8) 可进一步表示为：
n
( (1) (2) (n) ) ∏ ( (i) )
π Θ k y , y ,... , y k = c· L y |Θ k π(Θ k ) (10)

k
k
k
i=1
依据式 (8)，定义模型计算误差：
r k (x,Θ k ) = y k (x,Θ k )− y k,d (x,θ k ) (11)
假设模型计算误差服从 Normal 分布，则似然函数为：
ß ™
1 1 T −1
L(y k |Θ k ) = √ n exp − [r k (x,Θ k )] Σ [r k (x,Θ k )] (12)
k
(2π) |Σ k | 2
式中：Σ 为模型计算误差的协方差矩阵。假设模型参数之间相对独立，模型参数先验分布可采用无信息
k
先验分布，即取 π(θ )∝1, π(σ )∝1/σ ，先验分布可表示为：
k
k
k
1
π(Θ k ) ∝ π(θ k )π(σ k ) = (13)
σ n k
因定积分常数 c 的高维积分难以解析求解，借助 Markov Chain Monte Carlo (MCMC) 条件抽样算法
进行求解。其基本思想是构造一个平稳分布恰为后验分布 π(Θ |y ) 的 Markov 链，当其达到收敛时，取链
k
k
上收敛段的样本序列来计算后验分布的均值和标准差，从而巧妙地避开了复杂的高维数值积分计算。
模型参数更新后，通常选取参数后验分布的特征量作为其估计值，即：
( )
ˆ
ˆ y k (x) = y k x,Θ k (14)
或进一步地，选取后验分布样本 Θ ～π(Θ |y ) 计算冲击波荷载，其均值和方差可分别表示为：
k
k
k,i
n
1 ∑ ( )
ˆ y k (x) = y k x,Θ k,i (15)
n
i=1
1 { ( ) [ ]}
Var[ˆ y k (x)] = E y x,Θ k,i − E ˆ y k (x) (16)
n−1
3.2 参数更新结果
图 6 分别展示了概率模型参数的后验分布演化特征，结果表明，在小样本条件下（＜20%），参数后
验分布呈现宽尾、多峰等不确定性较高的特征；当使用全样本（100%）时，后验分布收敛为紧致的单
峰分布。这表明，随着观测数据量的增加，对模型参数的不确定性逐渐降低，后验分布更集中地反映
了 参 数 的 “ 真 实 ” 信 息 。 综 合 对 比 先 验 模 型 与 概 率 模 型 的 计 算 精 度 （ 图 7） 可 知 ， 基 于 Bayesian 方
法的 2 类概率模型均具有较高的可信度，其中随着样本数量的增加，概率模型参数估计表现出更小的
离散性。

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