Page 192 - 《振动工程学报》2026年第5期

1396 振 动 工 程 学 报 第 39 卷

其中： 度，同时检验该方法在不同工况下在线重建的泛化
 −1
−1
Θ y = (CΨ r ) y, p = r 性能，开展了悬臂梁的视觉振动测量试验。

 （14）
ˆ a = 
 Θ y = (CΨ r ) y, p > r
 † †
2.1 悬臂梁
本文所指最优稀疏测点布局是指能够重建密集
3
测点振动响应数据 ˆ x的最佳测点位置布局。因此，寻 试 验 采 用 尺 寸 为（ 17.8×39.2×2016） mm 的 钢 尺
找 Ψ r 的行，对应于状态空间中能以最佳方式获得矩 （悬臂梁）。对悬臂梁结构的选取基于其在结构力学
阵 Θ条 件 逆 的 稀 疏 测 点 位 置 。 为 简 化 表 示 ， 使 用 中的基础性和广泛应用性 [19,36-37] ，通过在这种简单而
M r = Θ Θ(M r = Θ当 p = r)来表示要求逆的矩阵。希 经典的结构上进行试验，能够清晰地评估所提方法
T
望选择的稀疏测点的索引位置 γ决定了 C的结构，因 的核心性能和基本原理，无需考虑复杂结构可能引
此它会影响 M r 和 Θ的条件数。通过 M r 的行列式、迹 入的干扰因素的影响。如图 2 所示，钢尺顶部使用
或谱半径来优化 M r 的特征值可间接限制系统的条 台虎钳固定于龙门架支架，固接位置距离钢尺底部
件数。例如， M 的谱半径准则能够最大化 M r 的最 2000 mm。使用无频闪光源进行照明，避免室内频闪
−1
r
小奇异值： 灯的干扰，使用固定于三脚架的手机作为视频采集

γ ∗ = argminM = argmaxσ min (M r ) （15） 设备。手机型号为 iPhone 13 mini，支持最高 1920×1080

−1
r
γ,|γ|=p 2 γ,|γ|=p
像素分辨率和最高 240 Hz 视频拍摄帧率。关注该悬
同样，该准则还可以优化其特征值或奇异值的
臂梁结构的前 5 阶模态频率响应（经有限元仿真，该
大小（行列式）的和（迹）：
结构前 5 阶频率在 30 Hz 内），根据奈奎斯特-香农采
∑
γ ∗ = argmax tr(M γ,|γ|=p ) = argmax λ i (M r ) （16） 样 定 理， 设 置 视 频 拍 摄 帧 率 为 60 fps， 测 量
γ,|γ|=p γ 0~30 Hz
∏ 的结构振动，分辨率为 像素。
γ ∗ =argmax|det(M r )| = argmax |λ i (M r )| = 1920×1080
γ,|γ|=p γ,|γ|=p
i
∏
argmax σ i (M r ) （17） 悬臂梁
γ,|γ|=p
i
上述标准的直接优化，需要在 C 种传感器组合
n
p
上进行搜索。然而，即使在 n为中等维度的情况下，
其计算量也是巨大的。一种思路是采用启发式贪婪
采样方法，专门用于 POD 基的状态空间（高维数据）
重建 [31-35] ；另一种思路，也是本文采用的方法，即基 无频闪照明灯 无频闪照明灯
于矩阵 QR 因式分解的方法 [15] ，该方法基于 Q-DEIM
算法 [35] ，为降阶模型中非线性项的插值重建提供了

近乎最优的采样。 图 2 视觉振动测量的试验场景
带列主元分解的降维矩阵 QR 因式分解将矩阵 Fig. 2 Experimental set-up of visual vibrometry

A ∈ R m×n 分解成一个酉矩阵 Q、一个上三角矩阵 R和 如图 3 所示，为了对比试验结果，在视觉振动测
一个列置换矩阵 C ,使得：
T
量方法中设置了 21 个“虚拟视觉传感器”作为密集
T
AC = QR （18） 测点，每个测点的大小为 80×30 像素。取每个测点
因此，带有列主元分解的 QR 分解产生了 r个测 水平方向的像素光流均值作为该测点的动态响应，
点（主元），这些测点实现了对 r个基础模态 Ψ r 的最优 以减小噪声的影响。

采样：
2.2 离线训练
T
T
Ψ C = QR （19）
r
基于列主元 QR 的相同原理，通过最小化矩阵行 训练数据的采集部分，为采集高质量的视频以
列式的幅值来控制条件数，对于过采样的情况，采用 获得精确的密集测点的振动响应数据作为离线训练
的是对列主元进行 QR 分解的方法： 数据，如图 4 所示，使用纯色的蓝色布料作为悬臂梁
T
T
(Ψ r Ψ )C = QR （20） 的背景。
r

为了尽可能地学习到悬臂梁结构不同的振动响
2 试 验 验 证 应模式，使用信号发生器（Tektronix， AFG2021）驱动
激振器（东华测试, DH40020）在悬臂梁顶部接近固接
为验证稀疏传感方法在视觉振动测量中减少测 端的位置施加宽频随机激励，拍摄的视频时长约为
点数量的有效性与密集测点振动响应数据的重建精 130 s。通过欧拉视角的稠密光流法获得了结构密集