Page 191 - 《振动工程学报》2026年第5期

第 5 期 王振宇，等：视觉振动测量的稀疏传感方法研究 1395

秩嵌入不属于变换基，而是基于数据的正交基 [15] ：
离线训练 在线重建
密集测点的欧拉 密集测点的欧拉 结构参数辨识等 r ∑
视角视觉测振 视角视觉测振 x i ≈ a k (t i )ψ k (x) （6）
POD基 k=1
对于式（6）中的时序数据 x i ，其系数 a k (t i )随时间
高数据采集量 特征提取 重建密集测点的
高光流计算量 振动响应数据
变化，而 ψ k (x)是与时间无关的特征向量，从而分离了
QR分解
数 据 的 时 空 属 性 。 通 过 对 数 据 进 行 奇 异 值 分 解
结构参数辨识等 结构参数辨识等 稀疏测点的欧拉 （singular value decomposition，SVD），可以获得相应的正
视角视觉测振
(a) 传统方法 [5-6] (b) 本文提出的方法 交基系数与特征向量 [29] 。对含 m个时刻测量值的高
(a) Traditional method [5-6] (b) Proposed method [ ]
n
维数据矩阵 X= x 1 x 2 ··· x m ,(x k ∈ R ,k = 1,··· ,
图 1 基于稀疏传感方法的视觉振动测量框架
m)进行奇异值分解：
Fig. 1 Sparse sensing approach for visual vibrometry
T
X = ΨΣV ≈ Ψ r Σ r V T r （7）
高维数据 x可能存在一个稀疏的表示 s [15, 20-21] ： 式 中， 矩 阵 Ψ r 和 V r 包 含 Ψ和 V的 前 r列 ， 对 角 矩 阵
x = Ψs, s ∈ R r （1） Σ r 包 含 Σ的 前 r ×r块 。 根 据 Eckart-Young 定 理 [30] ，
式中， s为一个稀疏的向量。 SVD 是对数据给定秩 r下的最优最小二乘近似值（低
若通过本征正交分解的截断基 Ψ r = R n×r ，高维数 秩近似）：
据 x可能存在一个低秩的表示 a [22-24] ：
˜
˜

X ∗ = argminX − X ,rank(X) = r （8）
F
x = Ψ r a, a ∈ R r （2） ˜ X
式中， X ∗ = Ψ r Σ r V ； ||·|| F 表示 Frobenius 范数。高维数
T
那 么， 问 题 的 关 键 在 于 获 得 一 个 测 量 矩 阵 r
据矩阵 X的本征正交分解特征向量是其正交左奇异
C ∈ R p×n (p ≪ n)，通过该测量矩阵稀疏地选择高维数
向量 Ψ r ，本征正交分解系数的低维近似由正交投影
据 x中的分量 y：
a = Ψ X给出。
T
y = Cx, y ∈ R p （3） r
本文的目标是根据已有的结构密集测点的振动
结合式（1）和（3），可得：
响应数据，在离线训练阶段通过数据驱动的方法学
y=(CΨ)s = Θs （4）
习面向特定振动响应数据定制的测量矩阵 C和变换
因此式（4）是一个压缩感知问题（基于通用的变
基。在线重建阶段通过稀疏测点的振动响应测量值 y
换基）。
精确地重建密集测点的振动响应数据 x。密集测点
结合式（2）和（3），可得：
的振动响应数据的完整状态可以表示为基向量的线
y = (CΨ r )a=Θa （5）
性组合：
在稀疏表示与低秩表示两种情况下，都需要给 r ∑
出已知变换基 Ψ或截断基 Ψ r 的有效测量矩阵 C，使 x j = Ψ jk a k （9）
k=1
得算子 Θ能够通过测量值 y精确地重建高维数据 x。
式中， Ψ jk 为 Ψ r 中的元素坐标。有效的稀疏测点布局
通常，可用 L 1 范数最小化求解稀疏系数向量 s（式（4） ），
[7]
会产生一个点测量矩阵 C，该矩阵经过优化可以从
或通过 Θ的伪逆求解低秩系数向量 a（式（5））。
稀疏测点的振动响应测量值 y中恢复基向量 a：
如果已知需要测量的信号类型（例如结构的振 [ ] T
··· （10）
e γ 2 e γ p
C = e γ 1
动响应），则可以根据已有的密集测点的振动响应数
式中， e j 为属于 R 的规范基向量，在索引 j处存在单
n
据学习出测量矩阵 C，再通过稀疏测点的振动响应
位值，其他地方为零。
测量值 y精确地重建密集测点的振动响应数据 x。

n ∑ n ∑ r ∑
y i = C ij x j = C ij Ψ jk a k （11）
1.2 传感器布置与数据重建 j=1 j=1 k=1
式中， C ij 为 C中的元素坐标。稀疏测点的振动响应
本征正交分解是一种使用广泛的数据驱动降维
测量值 y由从 x中选择的 p个元素组成：
方法，应用于许多领域 [25] ，通常被称为主成分分析 [ ]
y = Cx = x γ 1 x γ 2 ··· x γ p （12）
（principal component analysis， PCA） [26] 或 经 验 正 交
{ } { }
函数（empirical orthogonal functions） [27] ，在结构动力学 式 中， γ = γ 1 ,γ 2 ,··· ,γ p ⊂ 1,2,··· ,n 表 示 具 有 基
与 振 动 领 域 也 被 称为 K-L 分 解 （ Karhunen-Loève 数 ||γ|| = p的传感器位置的索引集。
decomposition） [28] 。本征正交分解将高维数据 x表示 通过 Moore-Penrose 伪逆近似未知基向量 a来重
为一系列正交模态（orthonormal eigenmodes）的线性 建密集测点的振动响应数据 x：
组合，从而获得高维数据的一个简化表示。这种低 ˆ x = Ψ r ˆ a （13）