Page 108 - 《振动工程学报》2026年第3期

708 振 动 工 程 学 报 第 39 卷

分别为惯容系统的惯质比、刚度比和名义阻尼比，其 πS 0 1 [ κ + κ( μ - 2) μ + μ + 4ξ ]
2
σ u = ⋅ 2 2 2 （13）
2
3
定义式为： 2ω 0 κ ξ
m in k t c d
μ = ，κ = ，ξ = （4）
m k 2mω 0 2 惯容减震结构速度最小化设计
式中， m in、 k t 和 c d 分别为惯容系统的惯容系数、弹簧
刚度和黏滞阻尼系数。 2. 1 设计原则
根据随机振动理论，结合留数定理求解式（2）可
经典力学中，体系的动能是用速度来计算或表
得混联Ⅰ型惯容减震单自由度结构在白噪声激励下
征的，因此速度是体现结构动能大小、振动强弱的重
速度和位移均方响应的解析表达式，分别为：
要指标。为综合控制结构的位移和速度响应，本文
2
πS 0 4ζ κμξ + ζA 1 + ξA 2
2
σ v = ⋅ （5） 提出惯容系统的速度最小化设计原则，即在满足位
3 2 2 2
2ω 0 4ζ κμξ + μ ξ + ζ A 3 + ζξA 4
移性能需求的前提下，令结构的速度响应最小。惯
2
πS 0 4ζ κμξ + ξA 5 + ζA 3
2
σ u = ⋅ （6）
3 3 2 2 2 容减震结构的速度最小化设计原则可表述为：
2ω 0 4ζ κμξ + μ ξ + ζ A 3 + ζξA 4
式中， S 0 为白噪声激励的功率谱密度。 ï ï μ，ξ，κ 2
ì minmize σ v
í （14）
类似地，混联Ⅱ型惯容减震单自由度结构在白 î
ï ïsubject to ζ eq = ζ t
噪声激励下速度和位移均方响应的解析表达式分 式中， ζ t 为根据性能需求预期要达到的目标阻尼比；
别为： ζ eq 为随机均方响应意义上的减震结构等效阻尼比。
2
πS 0 4ζ κμξ + ζA 3 + ξA 8 根据经典随机振动理论，白噪声激励下黏滞阻
2
σ v = ⋅ （7）
3 2 2 2
2ω 0 4ζ κμξ + κ ξ + ζ A 3 + ζξA 7
尼减震单自由度结构的位移均方响应 σ u，0 为：
2
2
2
σ u = πS 0 ⋅ 4ζ κμξ + ζA 1 + ξA 6 （8） 2 πS 0 1
3 3 2 2 2 σ u，0 = ⋅ （15）
3
2ω 0 4ζ κμξ + κ ξ + ζ A 3 + ζξA 7 2ω 0 ζ
式（5）~（8）中： 令减震结构和其等效黏滞阻尼减震结构的随机
ì A 1 = κ μ + 4κξ + 4μξ 2 响应相等，可将减震结构等效阻尼比定义为：
2
2
2
ï
ï
ï 2 2 ) 2
ï A 2 = μ - 2κμ + κ ( 1 + μ + 4ξ
ï ζ eq = πS 0 ⋅ 1 （16）
ï
ï 2 2 2 ) 2 2ω 0 σ u 2
3
ï A 3 = κ μ + 4μξ + 4κ( 1 + μ ξ
ï
ï
ï 2 2 ) + 4ξ + 4μξ 2 2. 2 解析设计公式
ï
2
ï A 4 = μ - 2κμ + κ ( 1 + μ
2
ï
ï
ï
)
2
í A 5 = μ + κ ( 1 + μ ) - κμ( 2 + μ + 4ξ + 4μξ 2 式（14）所述优化问题可通过令目标函数取极值
2
2
2
ï 2 2 2 ) 2 ) 2 2 2 2 2 ) （刚度比 κ、名义阻尼比 ξ、惯质比 μ）的偏导为零（混
ï
ï A 6 = κ + κ( μ - 2 μ + μ + 4ξ
来求解，即令速度均方响应 σ v 对惯容系统关键参数
2
ï
ï
ï
ï A 7 = μ + κ ( 1 + μ + 4ξ + 2κ( μ - μ + 2ξ
ï
ï
ï
)
ï
联Ⅰ型惯容系统对 κ 和 ξ 求偏导；混联Ⅱ型惯容系统
2
2
2
2
ï
A 8 = μ + κ ( 1 - μ + μ + 4ξ +
ï
ï
)
对 μ 和 ξ 求偏导）。为得到形式简洁的表达式，同时
ï
2κ( μ - μ + 2ξ
ï
2
2
î
考虑到一般结构的固有阻尼比较小，故推导过程中
（9）
令单自由度结构的固有阻尼比 ζ = 0。对于混联Ⅰ
忽略结构固有阻尼时，惯容减震结构在白噪声
型惯容减震结构，以速度响应最小化为优化目标、以
激励下的速度和位移均方响应表达式可简化为：
性能需求为导向的参数设计问题等价于：
对于混联Ⅰ型惯容减震单自由度结构：
ì ∂ )
2
1 ï ï σ v( μ，κ，ξ = 0
πS 0 2 2 2
2
σ v = ⋅ [ μ - 2κμ + κ (1 + μ) + 4ξ ]（10） ï ï ∂κ
2ω 0 μ ξ ï ï
2
í ∂ 2 ) （17）
1 ï ∂ξ σ v( μ，κ，ξ = 0
πS 0 é 2 ï
2
2
2
σ u = ⋅ ë μ + κ ( 1 + μ ) - ï
2ω 0 μ ξ ï )
2
3
î
ï ï ζ eq( μ，κ，ξ = ζ t
)
κμ( 2 + μ + 4ξ + 4μξ 2ù û （11） 根据式（10），有：
2
对于混联Ⅱ型惯容减震单自由度结构： ∂σ v 2 πS 0 ( κ - μ + κμ )
2
1 ∂κ = ⋅ μ ξ （18）
2
πS 0 ) 2ω 0
2
2
2
2
2
σ v = ⋅ [ μ + κ ( 1 - μ + μ + 4ξ +
)
2ω 0 κ ξ ∂σ v 2 2κμ - μ - κ ( 1 + μ + 4ξ 2
2
2
2
2κ(-μ + μ + 2ξ 2 ] ) （12） ∂ξ = πS 0 ⋅ μ ξ 2 （19）
2
2
2ω 0