Page 240 - 《振动工程学报》2026年第2期

556 振 动 工 程 学 报 第 39 卷

主要包括：传递矩阵法 [14-15] 、平面波展开法 [16-17] 、多 (a)
重散射理论 [18-19] 、有限差分法 [20] 和有限单元法 [21-23] 。
经典连续理论中，找到与边界约束类型相匹配 a
的假设场函数是求解变形和振动显式解的前提条 聚氨酯
件，在周期结构中的边界约束类型本质上是弹性约 嵌体
束，这给寻找合适的场函数带来了严峻的挑战。本
文采用广义场函数法，即采用加权基函数的一般形
式，而边界约束则体现在权重系数的非独立性。根
据边界条件可以建立对应的线性方程组从而得到基 第一布里渊区
础解系，因此广义场函数法在处理自由边界和弹性
(b)
k y
边界上具有非常好的灵活性。本文以四边形单胞和
六边形单胞内嵌周期结构板为研究对象，从计算效 M
率和便捷性视角出发，采用广义场函数法解决弹性
边界约束的场函数假设问题，而后基于虚拟弹簧模
型和能量变分原理建立两相周期结构板的带隙半解 k x
Γ X
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析方法 。研究周期结构材料内嵌组分和单元几何
尺寸对两相周期结构板的减振特性，并以有限单元
法验证该方法的准确性和效率，旨在为周期性复合
材料板的带隙计算提供一种适用性广、快速收敛的
二维周期复合板平面模型
高效计算工具。

图 1 二维周期复合板平面模型及第一布里渊区
Fig. 1 Two-dimensional plane model for periodic composite
1 基 本 计 算 方 程 建 立 plates and first Brillouin zone

1.2 周期单元应变能和动能分析
1.1 问题描述
根据广义胡克定律，二维平面应力周期性复合
本文中周期性复合材料板由两相材料组成：由
材料板本构关系为：
刚性圆形质量块嵌入软质基体中形成单胞，在平面
 
  1 µ 0   
中形成二维周期性点阵结构。在研究其减振特性 σ x      ε x  
 


 




  σ y = E µ 1 0      （3）

 


时，假定质量块和基体为各向同性材料，二者变形协       1−µ    1−µ     
 
  ε y 
2 
 
τ xy  0 0  ε xy
调；平面波垂直入射，质量块-基体周期结构简化为 2
平面应力问题。其中，质量块为钢块，嵌入聚氨酯基 式 中， μ 和 E 分 别 为 泊 松 比 和 弹 性 模 量 ； σ 为 应 力 ；
y
体中（见图 1(a)），a 为晶格常数。图 1（b）给出了方形 ε 为应变；τ x 为切应力。
排布的周期性复合材料板单元及其第一布里渊区 应变与位移的关系可以表示为：
∂u ∂v ∂u ∂v
（first Brillouin zone），图中 k x 和 k y 分别为 x 和 y 方向 ε x = ，ε y = ，ε xy = + （4）
∂x ∂y ∂y ∂x
的波数。
将 A记作：
根据能量法，平面应力周期单元在 x 和 y 方向的  
1 µ 0 
位移分别为 u(x, y) 和 v(x, y)，表示成基函数 f i (x, y) 和   µ 1    


A=A 0    0     （5）
待定权重系数 ξ i 、ζ i 的组合：    0 0 1−µ   
[ ] [ ] 2
T
u ξ w h/2
= f （1） E
v ζ T 式中， A 0 = dz，其中 h 为板厚度。
−h/2 1−µ 2
式中，二维基函数 f = p⊗ q，其中，符号 ⊗表示克罗内 系统的动能和应变能分别为：
克乘积，p 和 q 分别表示为： 1 w ( 2 2 )
]
[
p = p 1 (x), p 2 (x),··· , p i (x),··· , p m (x) ， L = 2 V ρ ˙u + ˙v dV （6）
[ ]
q = q 1 (y),q 2 (y),··· ,q i (y),··· ,q n (y) （2） 1 w
U = σεdV （7）
式中，m 和 n 分别表示一维基函数 p 和 q 沿 x 和 y 方 2 V
向的基函数项数。p 和 q 是初等基函数的自由选择， 式中，V 为体积；ρ 为密度； ˙ u为水平位移 u 的一阶导
可以采用三角函数、多项式或者幂函数等或者其组 数，即水平方向的速度； ˙ v为竖向位移 v 的一阶导数，
合，鉴于求导的便捷性和收敛效果，本文采用三角函数。 即竖向速度。