Page 242 - 《振动工程学报》2026年第2期

558 振 动 工 程 学 报 第 39 卷

w
T
M P = ρhB B PI dΩ （18） λ = lgk t （27）
PI
Ω
w π π
T
K P = B AB lI dΩ （19） 选取波数 k x = k y = 与 k x = 、 k y = 0的 3 阶、5 阶
Ω lI a a
K o 和 H K o 分别为周期边界 x 和 y 方向的刚度矩阵， 和 7 阶频率作为研究对象。图 4(a) 和 (b) 给出了虚
V
表示为： 拟弹簧刚度系数 λ随频率的变化趋势。从图 4 各条
w a 曲线中可以看出，随着 λ的增大，频率趋于稳定。结
B B oH dy，
T
K oH = K ts oH
7
0 果表明，当虚拟弹簧刚度系数 λ超过 7 时，即 k t =10 N/m
w a
T
B B oV dx （20）
K oV = K st oV 时，特征频率已基本稳定。因此，本文中虚拟弹簧刚
0
7
11
K c 为两相界面边界刚度矩阵，表示为： 度值 k t ∈[10 , 10 ] N/m 时，收敛性表现稳定。
z
T
K c = kB B PI ds （21） 3阶频率 5阶频率 7阶频率
s PI 12
其中：
10
[ ]
f
B PI = （22）
f 频率 / kHz 8
∂f
 
 
  6
 
 ∂x  

 
 
 ∂f 
 
   
B lI =     （23）
 ∂y  4
 
 
    4 5 6 7 8 9 10 11
 ∂f ∂f  

  虚拟弹簧刚度系数λ
 
∂y ∂x π
(a) k x =k y =
a
 −ik x a  12
f a −f a ,y j) e  
 (− ,y j)

B oH =   2 ( 2 −ik x a （24） (b)

f (− ,y j) −f a ,y j) e

a
2
( 2
10
 
f b −f ( x j , ) −ik y b 
b e
 ( x j ,− )


 2 2 −ik y b （25）
B oV =    8
b −f
f ( x j ,− ) ( x j , ) 频率 / kHz
b e
2
2
[ ] [ ]
k t k s 6
K ts = ，K st = （26）
k s k t
4
求解式 (17) 的广义特征值获得频率，通过扫描 4 5 6 7 8 9 10 11
[ π ] [ π ] 虚拟弹簧刚度系数λ
第一布里渊域 k x × k y = 0, × 0, ，可以得到周期 π
a a (b) k x = a , k y =0
性复合板的振动频散曲线。

图 4 虚拟弹簧的刚度收敛性分析
Fig. 4 Stiffness convergence analysis of virtual spring
2 收 敛 性 分 析 与 计 算 精 度
2.2 虚拟弹簧模型的正确性
模 型 中 相 关 材 料 参 数 如表 1 所 示 ， 晶 格 常 数
a=0.01 m，设置嵌体占单胞面积比 γ=0.16。 为了验证本文方法的准确性，计算方形单胞周
期性复合材料板的频散曲线，并与 COMSOL 有限元
表 1 单胞材料参数
法的计算结果进行对比。图 5 给出了本文虚拟弹簧
Tab. 1 Material parameters of unit cell
法与 COMSOL 有限元法的频散曲线。结果表明：本
材料 ρ /(kg·m ) E/MPa μ 文虚拟弹簧法与 COMSOL 有限元法计算结果吻合，
–3
聚氨酯 1050 0.3 0.49
尤其在低频阶段，证实了本文方法的正确性。在高
钢 7850 210000 0.3
频阶段，受基函数的限制，与有限元数值计算结果的
偏差会变大，这是因为高阶频率的求解在理论和数
2.1 虚拟弹簧模型刚度的收敛性
值模拟中都会出现失真现象。尽管如此，从图 5 的
本节首先对本文方法的收敛性和精度进行分析。 曲线趋势和偏差大小中来看，上述结果仍在可接受
前述式 (11) 虚拟弹簧的弹性常数 k t 和 k s 采用取大数法 范围内。图中灰色区间不存在相应的连续特征频
确定。要满足 limk t = ∞，limk s = ∞，不妨取 k t =k s 。本 率，这意味着该频段的弹性波不能在此周期结构中
节中，首先探讨其取值对计算结果收敛性的影响。 传 播， 相 应 的 频 率 范 围 称 为 完 全 衰 减 域 （ complete
记虚拟弹簧刚度系数 λ为： attenuation zone，CAZ）。