Page 241 - 《振动工程学报》2026年第2期

第 2 期 颜建伟，等：周期性复合材料板的带隙和减振特性 557

1.3 周期性边界条件 同理，周期单元的上下边界满足：

能量法求解系统带隙中，通常需要根据边界约 u(x i ,0) = u(x i ,a)e −ik y a ，
v(x i ,0) = v(x i ,a)e −ik y a （9）
束型式假设满足边界条件的试探函数。采用这样的
方式一方面会产生精度问题，如经典板理论中固定 以 x 方向上的周期边界为例，左临单胞的右边界
约束解的精度远不如简支边界约束解；另一方面在 与当前单胞的左边界之间的位移差可以表示为：
(
)
(
)
某些边界约束上很难得到适用的场函数形式，如悬 ∆u = u 0,y j −u a,y j e −ik x a ,
臂和弹性边界约束。本文基于初等函数与复杂位移 ( ) ( ) −ik x a
∆v = v 0,y j −v a,y j e （10）
场的可拟合特性，提出一种具有一般适用性的广义
考虑周期边界连接处长度 dy 的微元，虚拟弹簧
场函数方法，即采用初等函数加权以得到任意连续
1 ( 2 2 )
位移场，而后根据边界约束的性质得到权重系数的 刚度为 k t dy，微元处的弹性势能为 4 k t ∆u +k s ∆v dy。
线性方程组而求得基础解系。换而言之，未知权重 沿边界积分得到周期边界虚拟弹簧的弹性势能：
系数是非独立的，其数学线性相关性对应边界约束 1 w a [ −ik x a ] 2
U bc = k t u(0,y j )−u(a,y j )e dy+
的力学条件。单胞的周期边界是弹性边界，本文采 2 0
1 w a [ ] 2
用虚拟弹簧模型模拟 [13] ，在处理不同形式的周期性 k s v(0,y j )−v(a,y j )e −ik x a dy+
2 0
边界时，单胞的周期边界、嵌入质量块和基体的连 1 w a [ ] 2
k s u(x j ,0)−u(x j ,a)e −ik y a dx+
续 边 界 定 义 为 两 种 虚 拟 弹 簧： 拉 伸 变 形 弹 簧 刚 度 2 0
1 w a [ ] 2
k t 和切向变形弹簧刚度 k s 。至此，周期边界和连续边 k t v(x j ,0)−v(x j ,a)e −ik y a dx （11）
2 0
界的位移和变形能以虚拟弹簧替代，以方形单胞为
由式 (9) 可知，当 ∆u和 ∆v趋近于 0 时，有：
例，如图 2 所示。
F t F s （12）
lim = 0，lim = 0

k s
k t k s
式 中， F t 和 F s 分 别 为 拉 力 和 切 向 力 。 作 用 力 F t 和
k t
F s 是 有 限 值 ， 所 以 式 (11) 必 须 满 足 k t → ∞,k s → ∞。
在程序编译中，采用取大数法。
根据嵌入质量块和基体边界连续条件，两坐标
系在圆边界处有：

u j0 −u s0 = 0，v j0 −v s0 = 0 （13）
、
式中， u j0 v j0 和 u s0 v s0 分别表示基体和嵌入质量块在
、

图 2 虚拟弹簧模型
圆边界处 x、y 方向的位移。
Fig. 2 Virtual spring model

两相连续边界的虚拟弹簧弹性势能为：
以方形单胞为例，对复合材料板中的基体和嵌入 1 z [ ( ) ] 2
U c = k t u j0 x j ,y j −u s0 (x s ,y s ) ds+
质量块分别建立坐标系，如图 3 所示，图中，x j 、y j 和 2
x s 、y s 分别描述基体和嵌入质量块各自的独立坐标系。 1 z k s v j0 x j ,y j −v s0 (x s ,y s ) ds （14）
[
] 2
)
(
2
y j
根据 Hamilton 原理，Lagrangian 函数从 t 1 到 t 2 时
刻的时间积分的变分为 0，得到：
y s
w
t 2
δ [L(t)−U (t)−U bc (t)−U c (t)]dt = 0 （15）
t 1
假设：
x s [ ] [ ]
ˆ u(t) u iωt
= e （16）
ˆ v(t) v
x j
式中，ω 为频率。

图 3 方形单胞基体和嵌入质量块的坐标系
可以得到振动控制方程：
Fig. 3 The coordinate systems of matrix for square unit cell and
[ ]
[ ] ξ T
embedded mass block 2 = 0 （17）
ω M P − K P −(K oH + K oV )− K c ζ T
根据 Bloch 定理，周期单元的左右边界满足：
式中，下标“H”和“V”分别表示记录水平方向和记
u(0,y i ) = u(a,y i )e −ik x a ， 录竖直方向；M P 为面内质量矩阵；K P 为面内刚度矩
v(0,y i ) = v(a,y i )e −ik x a （8） 阵；分别表示为：