Page 320 - 《振动工程学报》2025年第11期

2778 振 动 工 程 学 报 第 38 卷

境的不确定性会显著影响受关注的顶层货物振动响 步骤 2：对 U 内其他区间 n−1 个参数抽样，得到
应峰值与均方值。现有研究中包装参数常被线性化 一组响应 F n,1 =[ F 1,1 , F 1,2 ,…, F 1,n ] ；
T
处理，并基于特定运输工况优化，优化目标是：在确 步骤 3：重复步骤 1 和 2，进行共 m 次抽样后可
定性条件下获取最优的包装线性刚度与线性阻尼， 得 m 组响应 F n =[ F n,1 , F n,2 ,…, F n,m ] ；
T
m
使货物振动响应最小。确定性优化函数为： 在 m 组响应 F n 中，利用式 (18) 计算出响应区间
m
a peak (X,U) a ms (X,U) 中点与区间半径，利用遗传算法寻找满足不确定性
min F(X) = ω 1 +ω 2
X a peak,0 a ms,0 优化函数式 (19) 的最优非线性包装参数组合 X。
l
l
u
s.t. K ⩽ K h ⩽ K ，C ⩽ C h ⩽ C u （17） 根据上述优化方法，最终可得到三层货物堆码
h h h h
式中，ω 1 和 ω 2 分别为峰值指标与均方值指标的权重 下的最优包装参数。该方法综合考虑包装材料非线
性刚度、阻尼特性及运输环境不确定性，显著降低
系数；a peak, 与 0 a ms, 为优化前的指标值。X={K h , C h }为
0
设计变量；上标“u”和“l”为设计变量的上界与下界。 了顶层货物的振动水平。
然而，由于包装非线性与运输环境不确定性，计 不确定性参数难以获取准确的分布规律，本研
究采用区间优化方法。各参数区间均基于物理约束
算所得的顶层货物垂向 PSD 峰值指标与均方值指标
或典型工况设定：路面不平度系数 G q (n 0 ) 涵盖了最
响应的加权归一化指标 F 也是区间变量：
常见的 A、B、C 级路面；货物层数 n 与质量 m h 的区
+
+
F + F − F − F −
M
R
F = ,F = （18） 间 取 实 际 运 输 中 的 常 见 值； 堆 码 位 置 偏 移 量 ∆x 与
2 2
∆y 根据货箱的实际尺寸约束获得。
式中，F 与 F 分别为归一化指标的区间中点与区间
R
M
−
半径；F 与 + F 分别为该指标的区间上界与下界。 3.2 优化结果分析
考虑包装非线性与运输环境不确定性的包装参
优化前后的包装参数对比见表 2，在线性条件
数优化目标可以重新表述为：在不确定性条件下获
下， 不 确 定 性 优 化 的 区 间 中 点 和 区 间 半 径 分 别 为
取最优的包装非线性刚度与非线性阻尼，使货物振
0.1309 和 0.1227；在非线性条件下，不确定性优化的
动响应区间中点与区间半径最小。不确定性优化函
区间中点和区间半径分别为 0.3507 和 0.2112。综合
数可表示为：
考虑包装非线性与运输环境不确定性的优化结果如
M
R
min F(X) = ω 3 F (X,U)+ω 4 F (X,U) 图 所示，由图 10(a)（线性情况）与图 10(b)（非线性
X 10
[ ] [ ]
l
u
l
s.t. X ∈ X , X ，U ∈ U ,U u （19） 情况）可见，顶层货物的功率谱密度曲线中，优化前
的基础模型整体响应最高，不确定性优化结果次之，
式中，ω 3 和 ω 4 分别为区间中点与区间半径的权重系
而确定性优化所得的响应最低，这一趋势在非线性
数；设计变量 X={K h , K hn , C h , C hn }；不确定性参数 U=
系统中同样保持一致。但两种优化获得的 PSD 曲线
{G q (n 0 ), n, m h , ∆x, ∆y }；上标“u”和“l”为区间变量的
在具体频率范围的表现不同：确定性优化 PSD 曲线
上界与下界，如表 1 所示。采用蒙特卡罗法对优化
在 1~2 Hz 的频率段（簧上质量共振频率区间）的响应
函数进行抽样求解。具体步骤如下：
更高，在 9~10 Hz 的频率段（簧下质量共振频率区间）
的响应更低，而峰值出现在 3~4 Hz 频率段（货物共振
表 1 设计变量与不确定性参数变化范围
频率区间）。相比而言，不确定性优化的 PSD 曲线在
Tab. 1 Variation range of design variables and uncertain
parameters 整 体 幅 值 降 低 的 基 础 上 变 化 趋 势 与 优 化 前 更 为

参数 定义 变化范围 单位 接近。

5
线性分布刚度 [1×10 , 5×10 ] N/m 3
5
K h
表 2 优化前后的包装参数对比
线性分布阻尼 [2×10 , 3×10 ] N·s/m 3
3
2
C h
设计变量 Tab. 2 Comparison of packaging parameters before and after
非线性分布刚度 [0.39×10 , 7.8×10 ] N/m 5
8
8
K hn
optimization
4
2
非线性分布阻尼 [8.83×10 , 1.766×10 ] N·s/m 5
C hn
优化 K h / C h / K hn / C hn /
G q (n 0 ) 路面不平度系数 {1.6, 6.4, 25.4}×10 5 m³ 类型
方法 (N·m ) (N·s·m ) (N·m ) (N·s·m )
−3
−5
−5
−3
n 货物层数 {1, 2, 3, 4, 5} —
不确定性 线性 390000 883 — —
货物质量 [1×10 , 1×10 ] kg 优化前
4
3
参数 m h 非线性 390000 883 3.9×10 8 8.83×10 3
Δx 堆码位置纵偏移 [−2, 2] m
确定性 线性 113315 1627 — —
Δy 堆码位置横偏移 [−1.5, 1.5] m
优化 非线性 8 3
188023 1831 1.41×10 5.72×10
步骤 1：对 U 内第 1 个参数在其所在区间内进行 不确定性 线性 260233 1955 — —
优化 非线性 4.57×10 8 1.53×10 3
抽样，得到响应 F 1,1 ； 311222 1902