Page 324 - 《振动工程学报》2025年第11期

2782 振 动 工 程 学 报 第 38 卷

注和发展。时域积分器的主要思想是将位移、速度 尼条件下保持数值误差一致性的同时，在有阻尼条
和加速度在任意时刻 t都满足二阶微分方程的要求 件下展现出更优越的数值精度控制能力。需要指出
降为只在某些离散时刻 t i (i ∈ R)满足。在初始时刻 的是，尽管 OSS21 算法实现了一致二阶精度和可控
t 0 处，初始位移和初始速度已知，且将二者代入式 (1) 数值高频耗散，但它存在严重的二阶位移超调。因
可 计 算 得 到 初 始 加 速 度 。 因 此， 在 初 始 时 刻 t 0 ， 位 此， 本 文 将 在 先 前 的 工 作 基 础 [2,12] 上 进 一 步 优 化
移、速度和加速度都已知。时域积分器将 t 0 时刻的 OSS21 算法以降低其超调行为。自启动单解隐式算
数值解合理且高效地更新到 t 1 时刻；如此反复，即可 法的最新进展可参考文献 [12,19]，不在此处赘述。
求解得到整个时间历程上所有离散时刻处的数值 类比自启动单解隐式算法的六点算法属性，具
解。文献 [12] 将只需要计算初始加速度就能启动逐 有竞争性的显式算法 [20] 也应该具备自启动、单解、
步积分进程的时域积分器定义为自启动时域积分器。 一致二阶精度、尽可能大的条件稳定域、分岔点处
若时域积分器将 t n 时刻的数值解更新到 t n+1 时刻 可控数值耗散的特征。由于带标量算法参数的显式
的过程中使用了一次二阶微分方程，则在求解线性 算法无法实现无条件稳定，因此显式算法的稳定性
动力系统时需要求解一次线性代数方程组；而在求 要求相较于隐式算法改为尽可能大的条件稳定域。
解非线性动力系统时需要求解一次非线性代数方程 同时，显式算法的数值耗散无法在高频处测量 (条件
组。若使用 Newton 迭代格式求解该非线性代数方 稳 定 性 限 制) 而 只 能 在 第 一 分 岔 点 处 测 量 。 基 于
程组，则时域积分器在该步更新内需要求解多次线 11 参数的自启动单解时域积分器框架，文献 [20-21]
提出了同时实现上述五点算法属性的最优显式算法
性代数方程组。因此，时域积分器在每步更新内使
(GSSE/I)。GSSE 算法在二阶微分方程中采用了速度
用二阶微分方程的次数可以近似评估该积分器的计
的显式处理，因此它在求解任意动力学问题时都是
算量大小。例如，Newmark 法 [13] 和两子步 Bathe 法 [14]
显式的。尽管中心差分法 [22] 在二阶微分方程中使用
在每步更新内分别使用了一次和两次二阶微分方
了速度的隐式处理且无数值耗散能力，但是它仍被
程，因此在相同的积分步长内，前者在求解线性或非
广泛使用和讨论。因此，文献 [21] 将 GSSE 算法推广
线性动力系统时计算量更小。文献 [12] 将每步更新
到了速度的隐式处理并因此提出了 GSSI 算法。相
内只使用一次二阶微分方程的这类时域积分器定义
较于中心差分法，GSSI 算法不仅实现了分岔点处的
为单解时域积分器。
可控数值耗散，而且还扩大了条件稳定域 (在特定用
HUGHES 等 [15] 、 HILBER 等 [16] 给 出 了 自 启 动 单
户指定参数下超过 2)。自启动单解显式算法的最新
解时域积分器应具备的五点算法属性。结合超调属
进展可参考文献 [23]。基于振幅与相位误差主项的
性，具有竞争性的隐式算法应具备以下特征：自启
解析计算技术 [19] ，本文将在 11 参数的自启动单解时
动、单解、二阶精度、无条件稳定、可控数值高频耗
域积分器框架内进一步优化 GSSE/I 算法以实现在
散和零阶超调。然而，文献 [12] 通过构造具有 11 参
有阻尼条件下更小的误差。
数的自启动单解时域积分器框架证明了两个定理： 综上，本文将在已有研究工作的基础上进一步
(1) 该框架内的自启动单解隐式算法并不能同时 优化和发展实现一致二阶精度的自启动单解隐式和
实现一致二阶精度、零阶超调和可控数值高频耗 显式算法。隐式算法的优化目标在于实现一致二阶
散；即使加速度精度降为一阶，该框架仍不能同时实 精度和可控数值高频耗散后尽可能地降低其二阶超
现零阶超调和可控数值高频耗散。 调行为，而显式算法的优化目标在于实现一致二阶
(2) 该框架内的自启动单解隐式算法不能同时实 精度和分岔点处可控数值耗散后降低振幅与相位误
现二阶的位移和速度、零阶位移和一阶速度超调、 差主项。

可控数值高频耗散。
基于上述定理，文献 [12] 提出了三类自启动、单 1 自 启 动 单 解 时 域 积 分 器 框 架
解 和 无 条 件 稳 定 的 二 阶 可 控 耗 散 性 隐 式 算法
(OSS10、OSS11 和 OSS21)。这三类算法的差异性主 对于线性结构振动，二阶微分方程 (1) 可以简化为：
要 体 现 在 加 速 度 精 度 阶 数 与 超 调 阶 数 方 面： M¨u(t)+C˙u(t)+ Ku(t) = F(t) （2）
、
OSS10 算法实现一阶加速度配合一阶位移超调及零 式中， M C和 K分别表示全局质量、阻尼和刚度矩
阶速度超调，OSS11 算法在一阶加速度精度下同时 阵； F(t)表示已知的外力荷载。初始条件给定为：
具备一阶位移和一阶速度超调特性，而 OSS21 算法 u(t 0 ) = u 0 , ˙ u(t 0 ) = ˙u 0 （3）
则达到二阶加速度并兼具二阶位移超调和一阶速度 式中， t 0 表示初始时刻。由初始时刻的式 (2) 可求解
超调特性。通过对比分析表明，相较于具有相同超 得到初始加速度 ¨ u 0 ，即
调阶数的传统隐式算法 [17-18] ，OSSij 系列算法在无阻 M¨u 0 = F(t 0 )−C˙u 0 − Ku 0 （4）