Page 327 - 《振动工程学报》2025年第11期

第 11 期 李金泽，等：结构动响应的自启动单解时域积分器优化 2785

需要指出的是，完全显式算法的数值放大矩阵 的速度隐式处理，其 Butcher 表为：
的特征多项式独立于参数 α 1 ，因此上述四类不同的 p α 1 0 p−α 4 α 4
1 1 1 1 1
α 1 取值不影响完全显式算法的谱特点 (谱半径、数值 −α 6 α 6 1− 1−
2 2p 2p p p
阻尼和相对周期误差)。不同的 α 1 取值将在求解具 （31）
体的动力学问题时展现出数值差异。 式中， p和 α 6 由式 (21) 给出。

式 (22) 和式 (23) 分别给出显式算法的振幅与相
3.2 速度隐式处理的显式算法
位 误 差 主 项 。 定 义 误 差 总 量 Γ = δ +ε 并 依 据 文 献
2
2
2 2
当 α 4 , 0时，显式算法采用了类似于中心差分法 [12] 中最小化 Γ的技术得到最优的 α 4 ：
2
2
3
2
2
ρ s (ρ s +1)ρ +(ρ −9ρ s −2)ρ −(5ρ +13ρ s −8)ρ b +3ρ +13ρ s +18
s
s
b
b
s
α 4 = 2 （32）
8(1+ρ b )(ρ b ρ s −ρ s −2)
计算显式算法的位移局部截断误差可得到形如 速度和加速度的局部截断误差亦有类似的表达
式 (25) 的表达式，且系数 ζ j (j = 1, 2, 3)为： 形式，但其系数值独立于参数 α 1 ，因此只能考虑位移
的局部截断误差确定参数 α 1 。
 1+6p(1−2α 6 )−6p 2

 ζ 1 =

 (1) 当通过计算 ζ 3 = 0获得参数 α 1 时，其值退化为
 12p




 2 文献 [21] 中的设计思想：

 1+6p(α 4 −α 6 )−3p
 （33）
ζ 2 =
 3p p 2 (2+ρ s −ρ b ρ s ) 2


 （34）
 α 1 = =
 2 2 2
 2
 2α 1 − p 2(1+ρ b ) (1+ρ s )

 ζ 3 =


2p (2) 当通过计算 ζ 2 = 0获得参数 α 1 时，其值为：
2
3
3
3
2
3
2
2
2
(23ρ +10ρ s −1)ρ s ρ −11ρ −68ρ −(49ρ +108ρ +21ρ s −2)ρ −151ρ s +(37ρ +174ρ +189ρ s +16)ρ b −106
b
s
s
s
s
s
b
s
s
α 1 = 2 2
6(1+ρ s ) (1+ρ b ) (ρ b ρ s −ρ s −2)
（35）
(3) 当通过计算 ζ 1 = 0获得参数 α 1 时，其值为：
2
3
2
2
3
3
2
3
2
(17ρ +10ρ s −1)ρ s ρ −5ρ −32ρ −(31ρ +72ρ +21ρ s −2)ρ −79ρ s +(19ρ +102ρ +117ρ s +16)ρ b −58
s
s
s
s
s
s
s
α 1 = b b （36）
2
2
12(1+ρ s ) (1+ρ b ) (ρ b ρ s −ρ s −2)
(4) 当定义误差总量 Γ = ζ +ζ +ζ 且通过求解 ∂Γ/∂α 1 = 0最小化 Γ时，参数 α 1 计算为：
2
2
2
1 2 3
2
3
2
2
3
3
2
2
3
(23ρ +10ρ s −1)ρ s ρ −11ρ −68ρ −(49ρ +108ρ +21ρ s −2)ρ −151ρ s +(37ρ +174ρ +189ρ s +16)ρ b −106
s
s
s
s
s
s
s
α 1 = b b
2
2
24(1+ρ s ) (1+ρ b ) (ρ b ρ s −ρ s −2)
（37）
与完全显式算法一样，速度隐式处理的显式算 不 同 超 调 阶 数 的 隐 式 积 分 算法 (OSSij)， 并 已 证 实
法 的 谱 特 点 独 立 于 参 数 α 1 ， 因 此 上 述 四 类 不 同 的 OSSij 算法在性能上优于 V0*法 [17] 、OESS 法 [18] 和 TPO/
α 1 取值不影响算法的谱特点。 G- α法 [25-26] 。因此，本文所提出的隐式和显式积分器
本节进一步优化了两类自启动单解显式算法： 在性能上自然延续了 OSSij 的优势，对新近方法亦保
完全显式算法和速度隐式处理的显式算法。每类显 持竞争力。为了保持简洁性，本节未再将这些新近
式算法都实现了一致二阶精度、分岔点处可控数值 方法纳入数值比较。
耗 散、 可 接 受 稳 定 域 、 最 优 的 振 幅 与 相 位 误 差 主 本节将展示优化的隐式和显式时间积分法的性
项。通过优化位移局部截断误差，每类显式算法的 能优势，比如隐式算法在实现一致二阶精度和可控
参数 α 1 提供了四种取值，任取其中一种都不影响显 数值高频耗散后较低的超调响应。

式算法的谱特点。

4.1 隐式算法
4 性 能 比 较 图 1 比较了隐式算法在有阻尼 ( ξ = 0.1) 时的谱
特点。被比较的隐式算法均实现了一致二阶精度。
近年来，学者们提出了一些新的自启动单解时 Wilson 平均法 [27-28] 和 Wilson- θ法 [29] 无法实现可控数
域积分器。例如，ZHOU 等 [24] 提出的 GSSSS 算法曾 值耗散；尽管样条插值加权残量法 (SW32) [30] 实现了
被认为实现了最优性能，但 MAXAM 等 [17] 随后指出 可 控 数 值 高 频 耗 散 能 力， 但 它 在 有 阻 尼 时 不 能 在
其 超 调 分 析 存 在 问 题 并 提 出 了 改 进的 V0*算 法 。 ρ ∞ ∈ [0, 1]内 实 现 无 条 件 稳 定 ， 如 图 1(a) 中 ρ ∞ = 1
ZHANG [18] 提出了一类十六参数的单步单解隐式积 情形。由于 OSS21 法 [12] 与本文改进的 OSS21*算法
分族 (OESS)。李金泽等 [12] 则提出并优化了三类具有 具有相同的谱特点，故图 1 中未重复比较 OSS21 算