Page 330 - 《振动工程学报》2025年第11期

水平位移 −1 参考解
−2

时间
2788 振 动 工 程 学 报 第 38 卷
位移
6

了四组最优的 α 1 值。由于参数 α 4 的差异，优化得到
水平速度x / (m ·s −1 ) −3 0 的确得到了更弱的超调趋势和更好的高频耗散能
GSSI 法。
的四组最优
α 1 值并未覆盖原始的
3
OSS21*法较原始
数值分析表明：本文
法
OSS21
−6
而逐渐减小，但在相同物理阻尼率下提供了比原始
14 15 16 17 18 19 20 力；本文 GSSI*法的条件稳定域随物理阻尼率的增加
时间 / s
(b) 速度 GSSI 法更小的相对周期误差且周期误差的优势随阻
(b) Velocities 尼率的增加而增大；在相同耗散量下，本文 GSSI*法
30
水平加速度x / (m·s −2 ) −10 0 参考文献：
GSSI 法明显更小的相对周期误差。
给出了比原始
20
10
−20
14 15 16 17 18 19 20 [1] HUGHES T J R. The Finite Element Method：Linear Static and
Dynamic Finite Element Analysis[M]. Mineola：Dover，2000.
时间 / s
(c) 加速度 [2] 李金泽. 结构动力学问题自启动逐步时间积分算法的设计
(c) Accelerations 与分析 [D]. 哈尔滨：哈尔滨工业大学，2023.

图 6 显式算法在水平方向上预测的数值解 LI Jinze. Design and analysis of self-starting step-by-step time
integration algorithms for structural dynamics[D]. Harbin：
Fig. 6 Numerical solutions predicted by explicit algorithms at
Harbin Institute of Technology，2023.
the horizontal direction
[3] 苏日泰，李卓，姜皓. 固体火箭发动机高空模拟试验仿真
∆t = 0.01 s 时 预 测 的 水 平 位 移 、 速 度 和 加 速 度 解 。 与模型优化研究 [J]. 内蒙古工业大学学报（自然科学版），
GSSE 2 和 GSSE 4 预测了最接近参考解的响应，其次 2024，43（1）：23-29.
SU Ritai， LI Zhuo， JIANG Hao. Solid rocket engine high
是 GSSE 1 ，最差的是 GSSE 3 。由此可知，通过重新优
altitude test simulation and modelling optimization[J]. Journal
化 GSSE/I 法的参数 α 1 的确可以在不增加计算量的前 of Inner Mongolia University of Technology （Natural Science
提下获得性能提高。 Edition），2024，43（1）：23-29.
隐式的 OSS21 和 OSS21*法在求解该问题时预测 [4] 邓子辰，张凯，李庆军，等. 超大型航天结构动力学与控
制的保辛方法 [J]. 计算力学学报，2024，41（1）：108-117.
的数值解差异不大，故不再赘述。

DENG Zichen，ZHANG Kai，LI Qingjun，et al. Reviews on
symplectic method for dynamics and control of ultra-large
6 结 论 space structures[J]. Chinese Journal of Computational
Mechanics，2024，41（1）：108-117.
[5] 彭海军，王磊，王昕炜，等. 计算最优控制辛数值方法 [J].
利用振幅、相位误差主项和位移局部截断误差
计算力学学报，2024，41（1）：47-57.
主项的解析计算技术，本文进一步优化了自启动单
PENG Haijun，WANG Lei，WANG Xinwei，et al. Compu-
解时域积分器框架在实现一致二阶精度后的隐式算 tational symplectic numerical methods for optimal control[J].
法 (OSS21)、完全显式算法 (GSSE) 和速度隐式处理 Chinese Journal of Computational Mechanics， 2024，
的显式算法 (GSSI)。 41（1）：47-57.
[6] GAO Z D， ZHAO M， EL NAGGAR M H， et al. High-
(1) 隐式的 OSS21 法在实现一致二阶精度和可控
order accurate composite explicit time integration methods
数值高频耗散后剩余两个待定参数： α 4 和 α 6 。本文通
based on cubic B-splines interpolation for solving dynamic prob-
过优化振幅与相位误差主项的平方和获得了最优的 α 4 lems[J]. Computers and Geotechnics，2025，185：107366.
值而通过降低初始时间步的位移超调确定了参数 α 6 。 [7] 李鸿晶. 非线性动力学问题的时步群积分算法 [J/OL]. 振
(2) 完全显式的 GSSE 法在实现一致二阶精度和 动工程学报，1-9[2025-06-23]. https://link.cnki.net/urlid/32.
1349.TB.20250113.0950.002.
分岔点处可控耗散后剩余一个待定参数 α 1 。由于振
LI Hongjing. Time-step group integration algorithm for nonlin-
幅与相位误差主项独立于该参数，故本文只能通过
ear structural dynamics[J/OL]. Journal of Vibration Engineer-
优化位移局部截断误差确定四组最优的 α 1 值；且第 ing， 1-9[2025-06-23]. https://link.cnki.net/urlid/32.1349.TB.
一组取值覆盖了原始的 GSSE 法。 20250113.0950.002.
[8] MALAKIYEH M M，SHOJAEE S，HAMZEHEI-JAVARAN
(3) 速度隐式处理的 GSSI 法在实现一致二阶精
S. A novel explicit-implicit time integration method for solv-
度和分岔点处可控耗散后剩余两个待定参数： α 1 和
ing time-dependent finite element equation： the versa-δ
α 4 。本文通过优化振幅与相位误差主项的平方和获 method[J]. Computers & Structures，2025，309：107664.
得了最优的 α 4 值而通过优化位移局部截断误差确定 [9] 李金泽，刘耀坤，崔乃刚，等. 一致二阶精度的自启动单