Page 334 - 《振动工程学报》2025年第11期

2792 振 动 工 程 学 报 第 38 卷

进一步得到 nΔt 时刻子结构 α 的位移响应与连
接力的递推式： 2 基 于 模 态 综 合 的 脉 冲 子 结 构 降 阶
n−2
∑ [ ] ∆t
α
α
α
α T
α T
u = H n−i F + F α i+1 +(B ) λ i +(B ) λ i+1 +
n
i
i=0 2 第 1 节中给出的脉冲子结构法的核心思路是获
[ α α ] ∆t 取系统的单位脉冲响应函数矩阵，这是整个计算流
α
α T
α T
H F n−1 + F +(B ) λ n−1 +(B ) λ n （9）
n
1
2 程中最耗时的部分。特别是对结构进行多次改进
记预测位移为：
时，每次结构改进都需要重新计算脉冲响应函数矩
n−2
∑ [ ]
α T
α T
α
˜ u α = H α F + F α +(B ) λ i +(B ) λ i+1 + 阵，这将显著增加计算成本。为解决该问题，有必要
n−1 n−i i i+1
i=0
[ α α ] 对计算规模进行进一步减缩。
α
α T
H F n−1 + F +(B ) λ n−1 （10）
n
1
由此，引入模态综合技术，进一步减缩脉冲子结
则式（9）可以表示为：
构的自由度。
∆t α ∆t
α
α
α T
u = ˜u n−1 + H (B ) λ n （11） 首先，将整个系统进行分割，取其中一个子结
n
1
2 2
同理，对于子结构 β 也有： 构，按内部自由度和边界自由度进行分割，可将式 (2)
β ∆t β ∆t 重新表示为：
β
β T
u = ˜u n−1 + H (B ) λ n （12） [ ]( ) [ ]( )
n
1
2
2
M oo M oc ¨ u o C oo C oc ˙ u o
将式（11）和（12）代入式（7）的第 3 行，可以得到 M co M cc ¨ u c + C co C cc ˙ u c +
nΔt 时刻的界面力表达式： [ ]( ) ( )
T
[ β ] −1 ( β β ) K oo K oc u o = f o + B λ （19）
β
α
β T
α T
α
α α
λ n =− B H (B ) +B H (B ) B ˜u +B ˜u （13） K co K cc u c f c
1 1 n−1 n−1
式中，u o 和 u c 分别为内部自由度和边界自由度对应
在实际工程中，通常只关注部分关键自由度的
的位移向量，下标“o”和“c”分别表示某子结构内部
响应数据，而式 (7) 中却给出了全部自由度的响应。
自由度和边界自由度。
为了进一步节约计算资源，在进行数值模拟时只需
引入 CB 法的假设分支模态集 T 和模态坐标 η，
要保留边界自由度、关注点自由度以及外激励作用
[2]
对内部自由度和边界自由度进行变换 ：
的自由度即可。将脉冲子结构的输入自由度 u I 与输
( ) ( )
[ ]
出自由度 u O 按边界自由度、关注点自由度和外激励 u o = Tη = Φ o Ψ c η o （20）
u c η c
自由度进行分割，得：
( ) ( ) 其中：
u f u h [ ]
u I = ，u O = （14） T = （21）
u c u c Φ o Ψ c
式中，u c 、u h 和 u f 分别为保留边界自由度、关注点自 式中，Φ o 和 Ψ c 分别为固定界面主模态矩阵和约束模
由度和外激励自由度对应的位移向量。 态矩阵。
重新构造降阶后的子结构布尔矩阵： 固定界面主模态矩阵 Φ o 可由约束全部边界自
[ ] [ ] 由度后的子结构特征值问题确定：
B I = B f B c ，B O = B h B c （15）
( 2 )

式中，B c 、B h 和 B f 分别为 u c 、u h 和 u f 的布尔矩阵的  K oo −ω M oo Φ oo = 0



 ( ) （22）
分块表达式。  Φ oo

 Φ o =


 0
将脉冲响应函数矩阵也按同样的方式进行分
约束模态矩阵 Ψ c 可由分块后的刚度矩阵表示为：
割，并在脉冲响应函数矩阵中删除与输入、输出自
(
−1 )
oo
由度无关的行和列，得到脉冲响应函数矩阵 H OI ： Ψ c = −K K oc （23）
I
[ ]
H hf H hc
H OI = （16） 将式 (20) 代入式 (19)，得到转换到模态空间的运
H cf H cc
动微分方程，即 IBS-CB 法运动方程：
在外激励向量里，类似地划去与输入自由度无
˜
˜
˜
˜
关的元素，整理得： M¨η+C˙ η+ Kη = F+G ˜ （24）
其中：
( )
f f
f I = （17） [ ] ( )
f c T M oo M oc T f o
˜
˜
M = T T，F = T ，
根据式 (14)~(17)，结合式 (7) 可得自由度减缩后 M co M cc f c
[ ]
的脉冲子结构响应： C = T T C oo C oc T，G = T B λ，
˜
˜
T
T
 a r t a [ a a T ] C co C cc
 u = H (t −τ) f (τ)+(B ) λ(τ) dτ

 O 0 OI I I [ ]

 [ ]T
 r t T K oo K oc
 b b [ b b T ] （18） ˜ T （25）
 u = H (t −τ) f (τ)+(B ) λ(τ) dτ K = T T，B = 0 I
 O 0 OI I I
 K co K cc


 a a b b
 B u + B u = 0
O O 在一般的结构动力学问题中，系统的低阶模态