Page 329 - 《振动工程学报》2025年第11期

第 11 期 李金泽，等：结构动响应的自启动单解时域积分器优化 2787

在相同的数值耗散量下，改进的 GSSI*法给出了比原 表 明， 本 文 优 化 后 的 OSS21*法 给 出 了 最 好 的 数 值
始 GSSI 法明显更小的相对周期误差，达到了优化目标。 解。图 5(b) 分析了减少 ρ ∞ 值进而增加数值高频耗散
量 的 影 响 。 很 明 显， OSS21*法 仍 然 给 出 了 最 好 的
ρ b =1.0 ρ b =0.5 ρ b =0
GSSI(0, ρ b )
GSSI*(0, ρ b ) 预测值。由于数值高频耗散量的增加，OSS21*法在
1.2
图 5(b) 中也产生了较为明显的振幅误差。
1.0
参考解 Wilson平均法 Wilson-θ
0.8
谱半径 0.6 1.2 OSS21 ρ =0.778 OSS21* ρ =0.778
∞
∞
0.4
0.6
0.2
0
0 0.5 1.0 1.5 2.0 位移u 1 / m 0
Ω
(a) 谱半径 −0.6
(a) Spectral radii
0.6 −1.2
0 1 2 时间 / s 3 4 5
相对周期误差 0.2 0 1.2 OSS21 ρ =0 Wilson平均法 ∞ Wilson-θ
0.4
(a) ρ =0.778
∞
参考解
OSS21* ρ =0
∞
−0.2
−0.4 0.6
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Ω 位移u 1 / m 0
(b) 相对周期误差
(b) Relative period errors −0.6

图 4 GSSI(0, ρ b ) 显式算法 −1.2
0 1 2 3 4 5
Fig. 4 GSSI(0, ρ b ) explicit algorithm
时间 / s

(b) ρ =0
∞

5 数 值 算 例 图 5 隐式算法在节点 1 处预测的位移
Fig. 5 Displacements at node 1 predicted by implicit algorithms

本节将通过两个典型算例分别验证本文隐式和
5.2 非线性弹簧摆
显式算法的性能。数值试验均在笔记本电脑 (Intel
(R) Core(TM) i9-10885H CPU @2.40 GHz) 上使用 Julia 受重力作用的小球在 xoy 平面内运动，其二阶微
编程语言 [31] 执行。 分方程可写为：

m¨x+k(l−l 0 )x/l = 0,
5.1 两自由度线性系统
m¨y+k(l−l 0 )y/l = mg （39）
2
两自由度系统 [12,18] 常被用于刻画大型复杂结构 式 中， m = 1 kg； k = 30 N/m； g = 10 m/s ； l 0 = 1 m；
√
2
2
的特性：同时包含重要的低频和虚假的高频模态。 l = x +y 。 小 球 初 始 速 度 为 0； 初 始 水 平 和 竖
两自由度系统的表达式如下： 向 位 移 分 别为 1.5 m 和 0 m。 高 阶 SUCIn 法 [33] 在
[ ][ ] [ ][ ] ∆t = 1.0×10 s 时预测的数值解作为参考解。
−3
0
m 1 ¨ u 1 ξ 1 +ξ 2 −ξ 2 ˙ u 1
+ +
0 m 2 ¨ u 2 −ξ 2 ξ 2 +ξ 3 ˙ u 2 为了区分 GSSE 算法选取的四种不同参数 α 1 ，本
[ ][ ] [ ]
k 1 +k 2 −k 2 u 1 f 1 （38） 文使用下标数字 (1~4) 分别表示由式 (27)~(30) 计算
=
−k 2 k 2 u 2 f 2
得到的参数 α 1 。图 6 比较了四类不同 GSSE 算法在
式 中， u 1 和 u 2 表 示 两 个 自 由 度 系 统 的 坐 标 ； m 1 =

7
m 2 =1 kg； k 1 =10 N/m； k 2 =1 N/m； ξ 1 =316.23 N/(m/s)； 参考解
GSSE 1 (0.5,0.5) GSSE 2 (0.5,0.5)
−2
−5
ξ 2 =3.1623×10 N/(m/s)； ξ 3 =9.9968×10 N/(m/s)； f 1 = 2 GSSE 3 (0.5,0.5) GSSE 4 (0.5,0.5)
10 sin(1.2t) N， f 2 =0 N。初始条件为 0 且积分步长 ∆t 1
7
取为 0.2618 s。利用模态叠加法 [32] 求解式 (38) 的稳 水平位移x / m 0
态解并作为参考解。 −1
图 5(a) 比较了四类一致二阶精度的隐式算法在
−2
节点 1 处预测的位移。可以发现，在前几个时间步，
14 15 16 17 18 19 20
两类 Wilson 法都呈现了明显的虚假振动；OSS21 法 时间 / s
(a) 位移
也在 t ∈ [0.5, 4] s内产生了明显的虚假振动。图 5(a) (a) Displacements

6
−1
·
水平速度 −3
−6
时间
速度

−2
·

水平加速度 −10

−20

时间
加速度