Page 333 - 《振动工程学报》2025年第11期

第 11 期 王虎寅，等：脉冲子结构与模态子结构混合空间子结构综合法 2791

合法用于气动伺服弹性模型降阶，结合离散阵风载
荷的非定常气动力模型研究超声速非线性气动伺服 1 脉 冲 子 结 构 综 合 方 程
弹性行为；YAO 等 [17] 提出了一种基于固定界面综合
法的流固耦合问题对称化方法，对流固耦合系统的 考虑 N 自由度结构，其运动微分方程可表示为：
耦合振动特性进行了分析。文献 [5,18-21] 将模态综 M¨u+C˙u+ Ku = F(t) （1）
合法应用于模型修正、非线性动力学和转子动力学 式中，M、C 和 K 分别为系统质量、阻尼和刚度矩阵；
领域，大幅改善了分析效率。为满足对一般黏性阻 F(t) 为力向量；u 为由各自由度的位移构成的向量。
尼系统的模型规模减缩和分析需求，还有在复数域 若该结构为系统的某个子结构，则外部激励可
内进行子结构综合的模态综合法 [4,22-23] 。上述子结构 按边界自由度和内部自由度进行分割，表示为：
综合一般在频域内完成，采用综合模型完成模态分 F(t) = f (t)+ g(t) （2）
析，然后转换到时域内进行动响应求解。 式中，f(t) 和 g(t) 分别为内部自由度受到的外部激励
文献 [24-25] 提出的脉冲子结构综合法（IBS 法） 和边界自由度受到的来自与之相连的其他子结构作
是一类典型的时域子结构综合法，利用脉冲响应函 用的界面力。
数矩阵和子结构界面协调条件，构造出可直接在时 式 (1) 可由 Duhamel 积分求解：
w
t
间域内完成自由度减缩的综合模型，适用于小阻尼 u(t) = H(t −τ)( f (τ) + g(τ))dτ （3）
0
情况下的系统瞬态响应分析 [26] 。文献 [26-28] 将脉冲 式中，H(t) 为单位脉冲响应矩阵；t 为积分上限，表示
子结构综合法引入刚柔耦合动力学系统，用于月球 当前输出的时刻；τ 为积分变量，表示 t 时刻之间的
探测器软着陆的仿真计算。陈树霖等 [29] 将脉冲子结 某一微小时刻。
构综合法应用于月球探测器结构优化设计问题中， 通过布尔矩阵 B 可抽取子结构边界自由度 u c ：
并考虑了不确定性因素的影响 [30] 。CRAIG 等 [2] 通过 u c = Bu （4）
将脉冲子结构法与 Newmark 法及广义 α 法相比较， 引入拉格朗日乘子 λ 表示连接处的界面力，以刚
在理论上说明了 IBS 法的精度与稳定性。 性连接的 a、b 两个子结构为例，应满足位移连续性
虽然脉冲子结构法非常适用于线性瞬态动响应 条件和界面力协调条件：
问题的分析，但是作为构造脉冲子结构的重要步骤， B u + B u = 0 （5）
a a
b b
a
生成脉冲响应函数矩阵，也是耗费计算资源最大的 g = (B ) λ ，g = (B ) λ （6）
b T
a T
b
步骤。若结构涉及到设计改进或迭代，则需要在每 由式 (3)~(6) 可将整个系统的运动表示为：
 a r t a [ a a T ]
一次改进或迭代环节，重新生成新的脉冲响应函数  u = 0 r H (t −τ) f (τ)+(B ) λ(τ) dτ



 b t b [ b b T ]
 u = H (t −τ) f (τ)+(B ) λ(τ) dτ （7）
矩阵。因此，探索能够减小计算量的算法是非常有  0

a a
b b

 B u + B u = 0
价值的。 图 1 给出了脉冲子结构法的基本原理图。
固定界面模态综合技术，是一类广泛应用的自

t a a a T λ (τ) dτ
a
由度减缩技术，能够将物理空间坐标由模态空间的 子结构a M , C , K a u (t)=∫ H (t−τ)[f (τ)+(B ) ]
a
a
0
少量模态坐标表示出来，可以大幅降低模型计算规 F a 边界节点
F a
模。然而，在模态域内分析系统冲击响应的过程中， 位移连续性条件：
b b
a a
由于降阶模型仅保留部分模态信息，它只能被视为 B u +B u =0
界面相容性条件
原始模型的近似。同时，模态综合法的求解精度极
界面力协调条件：
大依赖于所保留的主模态，对于模态频率密集且结 g =(B ) , λ g = (B ) λ
b T
a
a T
b
F b
构复杂的系统模型，使用模态综合技术进行降阶可 F b 内部节点
t b b (B ) λ(τ)]dτ
b T
b
b
b
b
能会导致间接成本上升，反而得不偿失。 子结构b M , C , K u (t)=∫ 0 H (t−τ)[ f (τ)+
本文在脉冲子结构综合法的基础上，引入模态 图 1 脉冲子结构法的基本原理图
综合法将物理空间中的子结构变换到模态空间中， Fig. 1 Basic theory of impulse-based substructure method
实现对模型的进一步降阶。然后，将模态空间的子 对于式 (7) 中的卷积积分，可以采用一阶牛顿-科茨
结构运动微分方程和保留在物理空间中的脉冲子结 闭型积分公式对其进行时间离散，以子结构 α 为例，有：
n−1
构运动微分方程进行综合，生成包含物理空间和模 ∑ [ ] ∆t
α T
α
α
α T
u = H α F + F α +(B ) λ i +(B ) λ i+1 （8）
态空间的混合空间动力学模型。并针对其特点，建 n n−i i i+1 2
i=0
立一种适用于该方法的主模态选取准则。最后，通 式中，下标“n”和“i”分别表示该物理量处在 nΔt 和 iΔt
过数值算例验证本文方法的准确性。 时刻；Δt 为时间步长。