Page 298 - 《振动工程学报》2025年第11期

2756 振 动 工 程 学 报 第 38 卷

和壁面剪切力 qS δs，其中 F A 为单位长度无黏流体的  ∂T ∂w ∂ ( ∂w )

 Q = 0
 +qS − F A −


横 向 作 用 力， q为 壁 面 剪 切 应 力 ， 为 管 道 内 壁 周  ∂x ∂x ∂x ( ∂x )
S


 ∂Q
 ∂w ∂ ∂w

长。根据牛顿第二定律，可导出流体微元在 x和 y方  + F A +qS + T = ma py （2）
 ∂x ∂x ∂x ∂x



2

向上的力平衡方程：  ( ) ∂ ψ
 ∂M


 + Q+(pA f −T)χ = ¯ I f + ¯ I p
 ∂x ∂t 2
 ∂p ∂w

 − A f −qS + F A = Ma fx

y
 式中，a p 为管道微元的横向加速度。
 ∂x ∂x ( ) （1）
 ∂w ∂ ∂w
 /( )
 −F A −qS − A f p = Ma fy 根据 Timoshenko 理论，剪切应变 χ = Q k GA p 与

′

∂x ∂x ∂x

横截面转角 ψ满足几何变形关系 dw/dx = ψ+χ。不考
式中， a fx 和 a fy 分别表示流体微元在轴向和横向上的
虑张力和管内压力条件下，充液管道的动力学方程
加速度。
可化简为：

 ( 2 ) 2
表 1 流体-管道-谐振子耦合模型参数  ′ ∂ w ∂ψ ∂ w


 F A +k GA p − = m
 2 2
 ∂x ∂x ∂t
Tab. 1 Parameters of the fluid-pipe-resonator coupling model  ( ) （3）
 2 2
 ∂ ψ ∂w ( ) ∂ ψ

 ′
参数 符号 参数 符号  ∂x 2 +k GA p ∂x −ψ = ¯ I f + ¯ I p ∂t 2
 EI p

挠度 w 横截面转角 ψ
可以发现，Timoshenko 梁充分考虑了管道结构
管道横截面积 A p 流体横截面积 A f
和内部流体转动惯量的影响。假设流体流速恒定
剪切刚度 GA p 弯曲刚度 EI p
dU/dt = 0， 可 采 用 PAÏDOUSSIS [30] 导 出 的 柱 塞 流 模
Timoshenko
k ′ 流体流速 U 型，流体作用力为：
剪切系数
( 2 2 2 )
管道单位长度 流体单位长度 ∂ ∂ 2 ∂
m M F A = −M +2U +U w （4）
质量 质量 ∂t 2 ∂x∂t ∂x 2
管道单位长度 流体单位长度 式中，等式右边从左到右分别表示流体惯性力、科
¯ I p ¯ I f
转动惯量 转动惯量
里奥利力和流体在管道弯曲部分流动时产生的离心
谐振子质量 m 1 、m 2 弹簧刚度 k 1 、k 2
力。该模型略去了流-固耦合界面处的流动细节，较
阻尼 c 1 、c 2 振子位移 u 1 、u 2
为简洁地描述了小变形管道中单相稳态流动对结构

的力学作用。
qSδs

U ∂p δs 对于附加谐振子的周期管道，方程 (3) 中还需要
A f p+
y 考虑梁与谐振子的相互作用。以如图 2(b) 所示的两
pA f ∂s
x
自由度串联谐振子为例，建立流体-管道-谐振子全耦
合 理 论 模 型 。 质 量 块 的 绝 对 位 移 表 示 为 u i ， 其 中
F A δs i = 1,2，梁与振子的连接处 x 0 受到弹簧施加的集中载
(a) 流体微元 荷为：
(a) An infinitesimal element of the enclosed fluid
( )
∂y 1 （5）
F A δs F r = k 1 y 1 +c 1 δ (x− x 0 )
∂T ∂t
T T ∂s δs 式中， y 1 = u 1 −w 0 y 2 = u 2 −u 1 w 0 为梁在连接处的挠
；
；
qSδs ∂
 y ∂Q  δs 度； δ (x)为狄拉克函数。综合考虑谐振子与充液管
Q Q δs ∂s
x ∂s
道的力平衡关系，可得如下流体-管道-谐振子耦合动
力学方程：
c 1
k 1  ( 2 2 2 ) ( 2 )
 ∂ w ∂ w 2 ∂w ∂ w ∂ψ
 −M +2U +U ′ − +


k 2 c 2  2 2 +k GA p 2
 ∂t ∂x∂t ∂x ∂x ∂x


m 2 m 1  ( )

 2
 ∂ w
 ∂y 1

 k 1 y 1 +c 1 δ (x− x 0 ) = m
(b) 附加谐振子的管道微元  ∂t ∂t 2



 ( )
2
2
(b) An infinitesimal element of the pipe  ∂ ψ ∂w ( ) ∂ ψ


′
 EI p +k GA p −ψ = ¯ I f + ¯ I p
 2 2
图 2 充液管道微元受力示意图  ∂x ∂x ∂t



 2
 ∂
 ∂y 1 ∂y 2
Fig. 2 An infinitesimal element of the pipe and the enclosed  +k 2 y 2 +c 2 = m 1 (y 1 +w 0 )
 −k 1 y 1 −c 1

 2
 ∂t ∂t ∂t

fluid showing the equilibrium of forces  ∂y 2 ∂ 2



 = m 2 (y 2 +y 1 +w 0 )
 −k 2 y 2 −c 2
∂t ∂t 2
对管道微元进行受力分析，其受到轴向张力 T 、 （6）
横向剪切力 Q、弯矩 M、流体法向力 F A δs和切向作 从上述方程不难发现，重质流体可引入显著的
用力 qS δs的共同作用，如图 2(b) 所示。依据力和力 惯性效应，流速的影响体现在科里奥利力和离心力；
矩平衡关系，得到如下动力学方程： 周期分布的谐振结构通过弹簧对 Timoshenko 梁施加