Page 299 - 《振动工程学报》2025年第11期

第 11 期 刘明利，等：充液流动管道低频带隙特性与振动控制 2757

集中力作用，从而影响充液管道的流-固耦合振动。 胞长度方向积分，获得一组以无量纲时间 τ为变量的
对于上述方程，将与第二个谐振子相关的参数置零， 常微分方程组。进一步，假设各离散自由度具有时
很容易得到单谐振子模型，对于两自由度并联谐振 谐解：
子的情形，分别针对每个谐振子单独建立方程，此处   η(τ)     H  
   
   
       
不再赘述。 X =   ψ(τ)    =   Ψ   jΩτ （9）
 e


   q 1 (τ)       Q 1    
假设谐振子位于单胞坐标原点 x 0 = 0，根据表 2           
q 2 (τ) Q 2
的无量纲参数对方程 (6) 进行无量纲处理，可得：
式中， Ω为无量纲频率。将时谐解代入常微分方程
 2 2 2
 ( 2 ) ∂ η ∂ψ ∂ η √ ∂ η
 Λ−u −Λ +γ 1 q 1 δ (ξ) = +2 βu 组，化简后得到如下代数方程：


 2 2
 ∂ξ ∂ξ ∂τ ∂ξ∂τ

 ( )
 ∂ ψ ∂η ∂ ψ M(k B ) X = 0 （10）
 2 2


 +Λ −ψ = σ

 2 2
 ∂ξ ∂ξ ∂τ 矩阵 M各元素如下：
 2
 ∂

 ∂q 1 ∂q 2
 (q 1 +η 0 )
 −γ 1 q 1 −d 1 +γ 2 q 2 +d 2 = ββ 1 M(k B ) =

 2
 ∂τ ∂τ ∂τ

 2
 ∂  
 ∂q 2
  M 11 −2jΛsin(k B /2) γ 1 0 
 (q 1 +q 2 +η 0 )
 −γ 2 q 2 −d 2 = ββ 2    
∂τ ∂τ 2  jk B Λ σΩ −k −Λ 0 0   
2
2


（7）    B   
2
 ββ 1 Ω 2 0 ββ 1 Ω −γ 1 γ 2   


式中， η 0 为谐振子连接处梁的挠度。   ββ 2 Ω 2 0 ββ 2 Ω 2 ββ 2 Ω −γ 2  
2
（11）
表 2 流体-管道-谐振子耦合系统无量纲参数 其中，
[ ] ( )
Tab. 2 Dimensionless parameters of fluid-pipe-resonator 2 √ ( ) k B
2
M 11 = Ω +4u βΩ−2k B Λ−u 2 sin （12）
coupling system k B 2

参数 符号 参数 符号 沿布里渊区扫略波矢 k B ，采用数值方法求解特
√ /
x 征方程 det(M) = 0，即可得到充液管道的能带结构。

轴向坐标 ξ = 时间 τ = EI p t a 2
a M +m
2.2 有限元法
√
w M
梁挠度 η = 流速 u = Ua
a EI p
有限元法是更为精确的计算方法，借助商用有
振子位移 q i = y i 惯量比 σ = ¯ I f + ¯ I p 限元软件 COMSOL Multiphysics 的偏微分方程模块
a (M +m)a 2
流体 M k GA p 可对充液管道的能带特性和频响特性进行数值分
′
β = 刚度比 Λ = a 2
质量比 M +m EI p 析。具体使用时，设置自由变量 (η,ψ,q 1 ,q 2 )，使用一
振子 m i 谐振子 c i a 维偏微分方程和常微分方程写入动力学控制方程，
β i = d i = √
质量比 Ma 阻尼 EI p (M +m)
使用“弱贡献”对梁施加集中力（弹簧回复力和外界
弹簧 k i a 3 c i
γ i = 阻尼比 ζ i = √ 激励力）。
劲度系数 EI p 2 k i m i
为了验证所建立理论模型和求解方法的正确
性，本文考虑 YU 等 [16] 设计的附加单自由度谐振子
2 充 液 管 道 能 带 与 频 响 计 算 方 法 的周期管道，采用文献中的几何和材料参数进行数
值计算。该文献基于 Timoshenko 梁模型和传递矩阵
基于上述动力学方程，采用时频域分析方法研 法研究了非充液管道的能带特性，主要参数包括：铝
−2
−3
究充液流动管道的振动特性，对于周期性管道结构， 管内半径 R i = 7×10 m，外半径 R o = 1×10 m，点阵常
−2
5
借助 Bloch 定理可获得弯曲波传播的频散特性。本 数 a = 7.5×10 m，谐振子弹簧刚度 k 1 = 1.65×10 N/m，
−2
′
文采用平均法与有限元法计算充液管道的频散曲线。 集 中 质 量 m 1 = 4.37×10 kg， 剪 切 系 数 k = 0.925， 其

余参数详见文献 [16]。图 3 展示了平均法、有限元
2.1 平均法 法与文献 [16] 结果的差异，可以看出各种计算结果
几乎完全一致，验证了本文理论方法的准确性。平
平均法的核心思想是在 Bloch 波假设下，通过积
均法较为简单，具有很好的准确性，后续分别采用平
分将连续结构集总等效处理，在保留关键动力学特
均法和有限元法计算能带结构和频域响应。
性的情况下简化计算。考虑一个单胞，假设充液管
道内弹性波传播满足如下谐波解：
{ jk B ξ 3 低 频 带 隙 特 性 与 振 动 控 制
η(ξ,τ) = ¯η(τ)e （8）
ψ(ξ,τ) = ¯ ψ(τ)e jk B ξ
式中，无量纲轴坐标 ξ ∈ [−0.5, 0.5] k B ∈ [−π, π]为 Bloch 本节基于图 1 中物理模型研究流体、谐振子组
；
波数； j为虚数单位。将谐波解代入方程 (7) 中，沿单 合方式及阻尼参数对局域共振带隙和振动响应的影