Page 237 - 《振动工程学报》2025年第11期
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第 11 期 郑周甫，等：水声吸声超材料拓扑优化设计 2695
对于二维结构，单位测试应变向量分别为： 表 3 元胞结构 UC0 等效参数
Tab. 3 Equivalent parameters of unit cell structure UC0
T
(2)
T
(6)
(1)
ε = (1,0,0) ，ε = (0,1,0) ，ε = (0,0,1) T （25）
−3
H
H
H
H
进而，响应应变场 χ （m） 可以根据下式求解得到： ρ e /(kg·m ) C /MPa C /MPa C /MPa C /MPa
66
22
11
12
567 821.3 −347.5 438.1 8.137
Kχ （m） = f （m） （26）
式 中， K 为 元 胞 结 构 的 全 局 刚 度 矩 阵 ，
进一步，可以通过旋转元胞结构形成更丰富的
N ∑w
T
K = B C t B t dV t。计算式 (26) 时，需要对元胞结 设计。当各项异性晶格旋转角度 θ 后，基于 Voigt 缩
t
V t
t=1 减标记的弹性矩阵 C 变化为：
H
构的边界施加周期性边界条件。
H
C e = RC R T （28）
因此，式 (23) 可进一步写为有限元形式：
式中，R 为变换矩阵，可表示为：
1 N ∑w （m 2 ） 2 2
) C t (I − B t χ
C H = (I − B t χ （m 1 ） T )dV t cos θ sin θ −sin2θ
m 1 m 2 t t
|V| V t 2 2 （29）
t=1 R = sin θ cos θ sin2θ
（27） sinθcosθ −sinθcosθ cos2θ
式中， C H 即为所求等效弹性常数，上标“H”表示均 由于元胞结构的动态特性是由准静态均匀化方
m 1 m 2
质化等效；I 为 3×3 的单位向量。 法进行评估的，因此，可基于此进一步评估其静态行
为验证元胞结构通过均匀化方法获取的等效参 为，x、y 方向的等效杨氏模量可以表示为：
数是否能够有效表征低频范围内的声波波动行为， E x = 1/S(1,1), E y = 1/S(2,2), S = (C e ) −1 （30）
可基于商业有限元软件 COMSOL 仿真计算实际物
式中，S 为等效柔度矩阵； C e 为式 (28) 中旋转变换后
理结构的声学性能，并将仿真结果与基于等效参数
的弹性矩阵。
的 理 论 计 算 结 果 对 比 。 有 限 元 仿 真 中， 元 胞 结 构
通过元胞结构的静态刚度信息，可以粗略估计
UC0 如 图 6 中 模 型 所 示 ， 其 等 效 参 数 如 表 3 所 示 。 超结构受载荷时的变形量，从而反映超结构的耐压
由于元胞结构设置为正交各向异性， C 和 C 值为
H
H
16 26 性能。
0。元胞结构的晶格常数 a = 7 mm，此时超结构内部
x 方向包含 4 个元胞结构，计算吸声系数如图 6 中曲
2 水 声 吸 声 超 材 料 逆 向 设 计 方 法
线 所 示 。 其中 1~8 kHz 吻 合 程 度 较 高 ， 而 8~10 kHz
误差有所增大，这是由于中高频逐渐偏离长波长假
基于所提出的水声吸声超材料声学特性理论分
设造成的。但是，两种方法的平均吸声系数分别为
析 方 法， 本 节 将 建 立 拓 扑 优 化 框 架 开 展 超 结 构 优
0.264 和 0.259，误差为 1.89%。整体上，表现出较好的
化。在给定结构等效刚度、体积分数约束条件下，
一致性，能够有效满足分析需求。
通过拓扑优化求解元胞结构基材的最优分布，从而
实现约束条件下的吸声性能最大化。元胞结构通过
式 (22) 和 (23) 计算等效参数时，离散为线性 4 节点
矩形单元。
y
z x
o 2.1 理论设计模型
1.0
0.9 理论方法(均质化) 拓扑优化过程中，超材料的声学性能通过建立
0.8 有限元方法(物理结构) 的流固耦合传递方程计算。该过程中设计域为元胞
0.7
结构，将其设置为正方形晶格，开展结构拓扑优化时
0.6
α 0.5 均匀离散为 N d 个线性单元，第 i 个单元指派设计变
0.4
量 （ 1 ]）描述基体材料分布情况。当元胞
ξ i ξ i ∈ [ 0,
0.3
0.2 设置为正交对称时，设计区域将被进一步缩减为元
0.1 胞的四分之一，则全局设计变量矢量 ξ和缩减设计变
0
0.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 量矢量 ξ之间满足映射关系：
f / kHz
ξ = Lξ （31）
图 6 实际物理结构的 COMSOL 仿真与理论方法计算结果
式中，L 为映射矩阵，根据元胞结构的对称关系，L 将
对比
缩减设计变量矢量映射到全局设计变量矢量。
Fig. 6 Comparison of calculation results of COMSOL
为提升优化过程中的数值稳定性，本文对全局
simulations and theoretical method for actual physical
structure 设计变量中的第 i 个元素 ξ i 进行密度过滤和 Heaviside
