Page 234 - 《振动工程学报》2025年第11期

2692 振 动 工 程 学 报 第 38 卷

是超结构，其由周期排布的元胞结构与隔离板构成， 式中， Λ = (C 11 −C 66 ) +4C ，以及对应的特征向量分
2
2
16
隔离板使得超结构与橡胶材料形成良好的连接表 别为：
面 。 其 中， 元 胞 结 构 如 图 1 下 方 的 放 大 示 意 图 所 ( ) ( ) √ ( )
u 1 = P x = P + P 2 P x ,
2
示。该元胞结构沿局部坐标系 x 1 、y 1 方向周期延拓， u 2 P y x y
qL P y
然后整体逆时针旋转从而与全局坐标系 x、y 形成夹 ( ) ( ) √ ( )
u 1 Q x 2 2 Q x
= = Q + Q （5）
角 θ，沿 z 方向为无限拉伸的厚度方向，因此该超材 u 2 qT Q y x y Q y
料可等效为二维平面应变问题，简化计算和分析。 式 中， P x 、 P y 、 Q x 、 Q y 为 归 一 化 极 化 分 量 ； P x 、 P y 、

1.1 弹性介质中的弹性波传播特性 Q x 和 Q y 分别为：
√
P x = 2C 16 +(C 11 −C 66 )+ Λ,
在超结构、橡胶等弹性介质中，弹性波沿着+x √
P y = 2C 16 −(C 11 −C 66 )+ Λ,
方向传播时，位移场由 x 方向分量 u x 和 y 方向分量
√
u y 组成，即 Q x = 2C 16 +(C 11 −C 66 )− Λ,
√
( ) ( ) （6）
Q y = 2C 16 −(C 11 −C 66 )− Λ
u x u 1 −jkx
u = = e （1）
u y u 2
在有限长度的多层弹性介质中，如图 2 所示（图
式中，u 1 和 u 2 分别为 x 和 y 方向的位移幅值；j 为虚 中 n 表示第 n 个界面），弹性波传播时会在介质内形
数单位；k 为波数。 成反射波，某一层弹性介质中的位移场可以表示为：
为使得表达式更加简洁，文中省略时谐项 e 。
jωt
u = PN x A （7）
根据运动学方程有：
( ) T
式 中， A = ， 其 元 素 分 别 表 示
2 （2） A 1 A 2 A 3 A 4
σ pq,q = −ω ρu p
沿±x 方向传播的 (准) 纵波和 (准) 横波模式的位移幅
式中，ω 为角频率；ρ 为基体材料密度；σ 为应力，下
值。P、N x 矩阵分别为：
标“ p” 和 “ q” 取 值 为 1 或 2， 表 示 x 或 y 方 向 分 量 ，
[ ]
σ pq, 表示应力分量 σ p 关于 q 的微分。 P = P x P x Q x Q x （8）
q
q
进一步可以整理得到本征值问题： P y P y Q y Q y
[ ]( ) 2 ( )  
1 C 11 C 16 u 1 ω u 1  e −jk qL x 0 0 0 
= （3）    
ρ C 16 C 66 u 2 k 2 u 2    0 e jk qL x 0 0   
N x =    −jk qT x    （9）
式中， （n 1 ,n 2 =1,2,6）为基于 Voigt 缩减标记表示的     0 0 e 0    
C n 1 n 2
 jk qT x 
0 0 0 e
基体材料或者元胞结构等效弹性矩阵常数。
为描述不同弹性介质层中弹性波传播关系，定
通过求解非平庸解，可得弹性介质中的（准）纵
( ) T
波波数 k q 和（准）横波波数 k q 分别为： 义场量 f x = v x v y σ xx σ xy 描述弹性介质中的
T
L
( √ )
v x v y 和应力分量
、
2 速度分量 、 σ xx σ xy ，该场量可根据
ρω C 11 +C 66 − Λ
2
k = , 位移场表示为：
qL
2
2(C 11 C 66 −C )
16
( √ )
2
ρω C 11 +C 66 + Λ f x = LN x A （10）
2
k = （4）
qT 2
2(C 11 C 66 −C ) 其中：
16
 
 jωP x jωP x jωQ x jωQ x 
 
 
 
 
 jωP y jωP y jωQ y jωQ y 
  （11）
L =    
 −jk qL (C 11 P x +C 16 P y ) jk qL (C 11 P x +C 16 P y ) −jk qT (C 11 Q x +C 16 Q y ) 

 jk qT (C 11 Q x +C 16 Q y )  
 
 
−jk qL (C 16 P x +C 66 P y ) jk qL (C 16 P x +C 66 P y ) −jk qT (C 16 Q x +C 66 Q y ) jk qT (C 16 Q x +C 66 Q y )
对于相同弹性介质，任意 x 和 x+d 位置，场量 f x f n = T t0 f 0 , T t0 = T dn ···T d2 T d1 （13）
满足传递关系： 式中，T t 为总传递矩阵；f 0 和 f n 分别为第 0 个（起始）
0
f x+d = T d f x , T d = LN d L −1 （12）
qL
式 中， T d 为 长 度 为 d 的 弹 性 介 质 层 中 的 传 递 矩 阵 ； 隔 隔
离 离 qL
N d 为式 (9) 中 x=d 时的矩阵。 qT
板 板
当弹性波在不同的介质中传播时，两种弹性介
qT
质的界面上满足连续性条件，即速度连续和应力连 超结构

续，此时界面两侧的场量 f x 相等。因此，可以根据多 图 2 弹性介质中的波传播行为示意图
层弹性介质中最左侧的场量，通过传递关系进一步 Fig. 2 Schematic diagram of wave propagation behavior in
获得最右侧界面对应的场量，该传递关系可以写为： elastic media