Page 236 - 《振动工程学报》2025年第11期

2694 振 动 工 程 学 报 第 38 卷

射声波，上下边界均设置周期边界条件，网格划分基 式中， ℜ表示取实部。
于 COMSOL 自适应物理场控制网格。计算过程中， 超材料在 3 kHz 和 5 kHz 处位移幅值分布如图 5(c)
超结构内部周期元胞等效密度为 ρ e = 567 kg/m ，等 所示，位移场如图 5(c) 中插图所示。为了与有限元
3
效弹性常数为： 方法进行对比，在有限元软件中沿着结构下侧边界
 
 759.56 −296.26 179.58  提取位移幅值，而理论分析方法中则基于式 (7) 和
 
   
C e =  −296.26 397.37 −117.01  MPa （20）


  (21) 进行计算。结果表明，两种计算方法所得到的
 
 
179.58 −117.01 59.37
位移幅值分布同样具有很好的一致性，这些结果共
有限元方法计算吸声系数结果与基于式 (19) 的
同表明理论计算方法能够有效揭示超材料的波动
理论方法计算结果如图 5(b) 所示，平均吸声系数相
行为。
对误差为 0.6%，所建立的理论分析方法与有限元计
计 算 吸 声 系 数 的 过 程 中， 理 论 方 法 时 间 仅 为
算结果具有良好的一致性。
0.017 s，而有限元方法为 15 s，理论方法极大提高了
此外，也可以基于理论分析方法计算超材料的
计算效率。因此，理论分析方法具备高效计算性能
波动响应，定义其位移幅值为：
和准确性。这将为后续开展拓扑优化设计以及耗能
√
|u| = ℜ (u x )+ℜ (u y ) （21）
2
2
机理分析提供良好的理论基础。

自适应物理场控制网格
h c1 h c2
h 1 h s
h r1 h r2
y y
x x
o o
完美匹配层 周期边界条件
(a) 水声超材料理论模型和有限元模型
(a) Theoretical model and finite element model of hydroacoustic metamaterials
×10 −7
1.0 1.0
0.9 理论方法 理论方法(3 kHz)
有限元方法(3 kHz)
0.8 有限元方法 0.8 理论方法(5 kHz)
有限元方法(5 kHz)
0.7 max
0.6 0.6
α 0.5 |u| / mm f=3 kHz |u|
0.4 0.4
0.3
f=5 kHz
0.2 0.2 min
0.1
0 0
0.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 10 20 30 40 50 60 70
f / kHz x / mm
(b) 吸声系数计算结果 (c) 位移响应计算结果
(b) Calculation results of sound absorption coefficients (c) Calculation results of displacement response

图 5 流固耦合传递方程与有限元方法计算结果对比
Fig. 5 Comparison of calculation results of transfer equations for fluid-structure interaction and finite element method

1.4 周期元胞均质化方法 式中，|V|为元胞结构的体积；C pqr 为基体材料弹性常
s
数张量； ε pq 和 ε 0(kl) 为预先指定的单位测试宏观应变
0(ij)
水声吸声超材料中，超结构由元胞周期阵列形 rs
(ij)
场； ε pq 和 ε 为测试宏观应变场作用下的响应应变
(kl)
成。本文中所设计的超结构在低频范围表现为非局 rs
场；对于二维结构，i、j、k、l、p、q、r、s 的取值为 1 或 2。
域模态，即在低频区域，波动行为中支配地位的波长
远大于微结构的长度尺寸。因此，基于长波长假设， 基于有限元方法求解超材料内部的响应应变场
超结构中波传播受到准静态的平均材料特性控制， 时，由单位测试宏观应变场引入的载荷向量为：
可由平均效应表征其行为。 N ∑w
(m)
T
f (m) = B C t ε dV t （24）
进行周期元胞均质化时，其等效密度为平均密 V t t
t=1
度，而其等效弹性常数则由渐进等效方法获取 [32-34] ：
式 中， B t 为 第 t 个 单 元 网 格 应 变 位 移 矩 阵 ； C t 为 第
1 w
ρ e = ρdV （22） t 个单元网格基材的弹性矩阵；N 为单元网格数量；
|V| V
(m)
1 w ε 为单位测试应变向量；V t 为第 t 个单元网格结构
(i j)
(kl)
C H = C pqrs (ε 0(ij) −ε )(ε 0(kl) −ε )dV （23）
ijkl pq pq rs rs
|V| V 区域。