Page 241 - 《振动工程学报》2025年第11期

第 11 期 郑周甫，等：水声吸声超材料拓扑优化设计 2699

40 R L = |A L,r1 |/A 0 ，R T = |A T,r1 |/A 0 ，

（39）
T L = |A L,t2 |/A 0 ，T T = |A T,t2 |/A 0
20 在元胞结构 UC1 对应的分析模型中，基于式 (39)
计算不同波模位移反射系数和透射系数分别如图 14(a)
k y / (rad·m −1 ) 0 和 超结构的波动调控作用，在两侧的橡胶层中均形成
(b) 所示。可以发现，尽管激励为纵波，但是通过

了强烈的横波响应。其中，左侧橡胶层（橡胶层 1）的
−20
反射横波幅值始终大于反射纵波，右侧橡胶层（橡胶
层 2） 的 透 射 横 波 幅 值 在 0.78~5 kHz 之 间 ， 大 于 纵
−40
−40 −20 0 20 40 波。因此，在元胞结构 UC1 的调控下，橡胶层内出现
−1
k x / (rad·m ) 了高效的纵波-横波的转换。需要强调的是，橡胶层
(a) UC1的等频曲线
(a) Equifrequency curve of UC1 中的弹性系数曲线仅为不同类型波的幅值对比，并
40
不是能量角度比较，因此其值存在大于 1 的情形。
由于横波相速度小，在橡胶材料中，横波耗能远
20 大于纵波。通过耗能计算可以定量分析这一特点，
k y / (rad·m −1 ) 0 橡胶耗能由单位体积的瞬时应变能功率密度表示，
即应力与应变率的点积：
（40）
I(t) = σ(t) : ˙ε(t)
b
−20 式中， σ(t)为应力张量； ˙ ε(t)为应变张量关于时间的微分。
简谐波激励条件下，平均功率密度为应变能功

−40 率在时间周期 T 内的平均值：
−40 −20 0 20 40 1 w 2π/ω 1
†
−1
k x / (rad·m ) I = σ(t) : ˙ε(t)dt = ℜ(σ(t) : ˙ε (t)) （41）
(b) UC2的等频曲线 T 0 2
(b) Equifrequency curve of UC2
2.5

图 12 等频曲线和快波、慢波极化方向 R L
2.0 R T
Fig. 12 Equifrequency curves and polarization directions of
位移反射系数
fast waves and slow waves 1.5
1.0
(P x , P y )
k L k L
k qL
0.5
−k qL
0
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
k qT
频率 / kHz
(a) 橡胶层1中的反射纵波(R L )和反射横波(R T )系数
−k qT (Q x , Q y )
−k T k T
(a) Reflected longitudinal wave coefficient (R L ) and reflected
界面R1 界面R2 transverse wave coefficient (R T ) in rubber layer 1

图 13 超材料波调控分析模型 2.5
T L
Fig. 13 Analysis model of metamaterial wave control
2.0 T T
式中，A L,r 表示左侧橡胶层（第 1 层橡胶）的反射纵 1.5
1
波，其中，下标“L”表示纵波，“r”表示反射，“1”表示 位移透射系数 1.0
第 一 层 橡 胶， 左 侧 橡 胶 给 恒 定 幅 值 为 A 0 的 纵 波 激
0.5
励 。 类 似 地， A T,r 表 示 左 侧 橡 胶 层 的 反 射 横 波 ，
1
0
A L,t 表 示 右 侧 橡 胶 层 （ 第 2 层 橡 胶 ） 的 透 射 纵 波 ， 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
2
频率 / kHz
A T,t 表 示 右 侧 橡 胶 层 的 透 射 横 波 。 S t 表 示 散 射 矩 (b) 橡胶层2中的透射纵波(T L )和透射横波(T T )系数
2
0
阵；L r 表示橡胶层的 L 矩阵；T d2 ~T d 分别为左侧隔离 (b) Transmitted longitudinal wave coefficient (T L ) and transmitted
4
transverse wave coefficient (T T ) in rubber layer 2

板、超结构、右侧隔离板的 T 矩阵。
图 14 元胞结构 UC1 调控下橡胶层内的弹性波系数曲线
定义纵波、横波的反射系数、透射系数为对应 Fig. 14 Elastic wave coefficient curves within the rubber layers
弹性波幅值与入射纵波幅值的比值，即 under the regulation of unit cell structure UC1