Page 242 - 《振动工程学报》2025年第11期

2700 振 动 工 程 学 报 第 38 卷

式中，上标“ ”表示复共轭。 性能发挥了作用。纵波耗能系数整体在 0.1 以下，表
†
橡胶材料复弹性张量为： 明纵波在橡胶内的声学损耗较少，尽管其随频率的
C r = C r (1+jδ) （42） 增大不断提升，但是占比始终不大。
e
式中， C r 为橡胶材料弹性张量实部。 针对超材料 M2，同样计算橡胶层的耗能系数如
进而，可以将式 (41) 化解为如下形式： 图 16 所示。可以看到，其展现出类似于超材料 M1
ω 的变化趋势：低频段耗能以第 层橡胶横波效应为
†
I = δℜ(ε(t) : C r : ε (t)) （43） 2
2 主， 第 层 橡 胶 横 波 波 动 导 致 的 能 量 损 耗 在
纵波的正应变 ε和工程剪切应变 γ为： 1 3.2~
4.5 kHz 处贡献较大。纵波耗能均小于 0.2，随频率增
ε L,xx = −jk qL P x A 1 e −jk qL x +jk qL P x A 2 e jk qL x ,
γ L,xy = −jk qL P y A 1 e −jk qL x +jk qL P y A 2 e jk qL x （44） 大而略有所提升。

式中， A 1 和 A 2 为式 (7) 中纵波的幅值。 1.0
纵波的正应力和剪切应力为： 0.9 α
0.8 Q total
Q L,r1 Q T,r1
σ L,xx = C r(11) ε L,xx +C r(16) γ L,xy , 0.7 Q L,r2 Q T,r2
e
e
（45） 0.6
e
e
σ L,xy = C r(16) ε L,xx +C r(66) γ L,xy 归一化系数 0.5
同理可计算横波应力和应变。由于橡胶材料为 0.4
各 向 同 性， C r(16) = 0， 并 且 在 纵 波 中 P y = 0和 横 波 中 0.3
0.2
e
，
，
Q x = 0，因此 γ L,xy = 0 σ L,xy = 0 ε T,xx = 0 σ T,xx = 0。式 (43) 0.1
，
0
可展开为： 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
频率 / kHz
ω
I = δ(C r(11) ε L,xx ε † +C r(66) γ T,xy γ † ) （46）
2 L,xx T,xy 图 16 超材料 M2 中两个橡胶层内的耗能曲线
其中，等式右侧第一项为纵波耗能 I L ，第二项为横波 Fig. 16 Energy dissipation curves in the two rubber layers of
耗能 I T 。 metamaterial M2

定义橡胶层耗能系数为橡胶层厚度方向总耗能
作 为 对 比， 取 元 胞 UC1 和 UC2 旋 转 角 度 为 0°，
与输入能量的比值：
w 对应超材料为 M3、M4，分别给出其声学性能如图 17
I(x)dx
Q = （47）
2
p /(2Z w ) 1.0
i 0.9 α
针对超材料 M1，分别计算两个橡胶层的耗能系 0.8 Q L,r1 Q total
Q T,r1
数 Q L,r1 、 Q L,r2 、 Q T,r1 、 Q T,r2 （ 其 中 ， 下 标 “ L” 表 示 纵 波 ， 0.7 Q L,r2 Q T,r2
0.6
“T”表示横波，“r1”表示第一层橡胶层，“r2”表示第 归一化系数 0.5
二 层 橡 胶 层） ， 如 图 15 所 示 。 两 层 橡 胶 总 耗 能 为 0.4
0.3
Q total = Q L,r1 +Q L,r2 +Q T,r1 +Q T,r2 。从中可以发现，耗能以横 0.2
波损耗为主，两个橡胶层横波耗能之和占整体耗能 0.1
0
的 75%。其中，第 2 层橡胶在 0.5~3.2 kHz 处的横波 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
频率 / kHz
耗能极大地提升了超材料整体的吸声性能，对于实 (a) 超材料M3的吸声系数曲线与其橡胶层耗能曲线
现高效的低频声波吸收发挥了关键的作用。而第 (a) Sound absorption coefficient curve of metamaterial M3
and the energy dissipation curves within its rubber layers
1 层橡胶在 3.2~4.3 kHz 处出现耗能峰，此时为第 2 层 1.0
橡胶耗能谷值，第 1 层橡胶为维持稳定高效的声学 0.9 α Q total
0.8
Q L,r1 Q T,r1

1.0 0.7 Q L,r2 Q T,r2
0.9 α Q total 0.6
0.8 Q L,r1 Q T,r1 归一化系数 0.5
0.4
0.7
归一化系数 0.6 0.3
Q L,r2
Q T,r2
0.2
0.5
0.1
0.4
0
0.3
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
0.2 频率 / kHz
0.1
0 (b) 超材料M4的吸声系数曲线与其橡胶层耗能曲线
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 (b) Sound absorption coefficient curve of metamaterial M4
频率 / kHz and the energy dissipation curves within its rubber layers

图 15 超材料 M1 中两个橡胶层内的耗能曲线 图 17 超材料 M3、M4 的吸声系数曲线与耗能曲线
Fig. 15 Energy dissipation curves in the two rubber layers of Fig. 17 Sound absorption coefficient curve and energy
metamaterial M1 dissipation curves of metamaterials M3 and M4